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做市商与库存风险 (Market Making and Inventory Risk)

大白话：做市商 (market maker) 靠在订单簿两端挂单赚价差，但很少同时买卖两边，于是手上总会压着货。压着的货随价格波动涨跌，这就是库存风险 (inventory risk)。所以挂单不能只看「别人挂多少」，还要看「我手上有多少货」。

问题的骨架

所有 Avellaneda-Stoikov 一脉的模型都由三个过程构成：

过程	记号	设定
参考价	S_t	dS_t = \sigma\, dW_t（算术布朗运动）
库存	q_t	dq_t = \Delta\, dN^b_t - \Delta\, dN^a_t，每次成交固定 \Delta 股
现金	X_t	dX_t = (S_t+\delta^a_t)\Delta\,dN^a_t - (S_t-\delta^b_t)\Delta\, dN^b_t

\delta^b_t = S_t - S^b_t、\delta^a_t = S^a_t - S_t 是报价到参考价的距离。

成交强度：\lambda^b_t = \Lambda^b(\delta^b_t)\mathbb{1}_{\{q_t^-<Q\}}、\lambda^a_t = \Lambda^a(\delta^a_t)\mathbb{1}_{\{q_t^->-Q\}}。

Q 是库存上限：压到 Q 股不再挂买价，压到 -Q 股不再挂卖价。这既让问题可解，也符合实务（做市商都有风险限额）。

强度函数 \Lambda 的假设（Guéant 2016 给的一般形式）：二次可微、单调递减、\delta\to+\infty 时趋于 0，且

\sup_\delta \frac{\Lambda(\delta)\Lambda''(\delta)}{(\Lambda'(\delta))^2} < 2

最后这条技术条件的含义：保证单笔预期收益 \pi(\delta) = \delta\Lambda(\delta) 在 \mathbb{R} 上有唯一最大值。没有它，最优解可能不存在。

	Model A	Model B
目标	\max E[-e^{-\gamma(X_T + q_T S_T - \ell(\\|q_T\\|))}]	\max E[X_T + q_T S_T - \ell(\\|q_T\\|) - \frac{1}{2\gamma\sigma^2}\int_0^T q_t^2dt]
何时罚库存	只在期末罚一次	整个存续期内持续罚
典型用户	Avellaneda-Stoikov、Guéant 等	Cartea、Jaimungal 等
直观理解	关心「到期那一刻我有多少货」	关心「我一路上压了多少货」

\ell 是非减凸函数（对期末残余库存的流动性折价）。

Guéant (2016) 的贡献之一是证明这两类问题的最优报价来自同一个方程族——文献里「谁对谁错」的争论被化解成「你关心哪种风险」的选择。CDX 实证也显示两者报价差异很小。

保留价与报价偏斜 — 保留价 r = s - q\gamma\sigma^2(T-t) 的来历；为什么库存影响价差中心而不影响价差宽度；两段式报价流程；压货时两侧报价同向下移的反直觉机制
PDE 到 ODE 的化简 — 变量替换、三对角矩阵 M、矩阵指数解；Guéant 2016 的维数压缩与通用闭式近似
参数比较静态 — 流动性等价于低波动、库存如何移动报价、波动率作用的三档、风险厌恶的两股力量

三篇已收录的论文构成一条清晰的递进线：

Avellaneda & Stoikov 2008 — 理论源头。两步法，但落在一道 PDE 上只能数值求解；参数 k 从市场单幂律规模分布 + 对数冲击积分而来
Guéant 等 2013 — PDE 变 ODE。变量替换后只需一次矩阵指数；补上了 Avellaneda-Stoikov 缺失的最优性验证定理
Guéant 2016 — 统一 + 推广。两类目标函数同一方程族、任意强度函数、扩展到多资产与相关性

GLFT 公式（Guéant-Lehalle-Fernandez-Tapia 闭式解）在欧洲与亚洲多家银行实务中使用（论文自述）。

这一族论文的实证普遍很弱，不要过度解读：

能读出的结论是「这套模型在真实逐笔数据上不会崩」，不能读成「这套报价规则能赚钱」。