保留价与报价偏斜 (Reservation Price and Quote Skewing)

大白话：保留价 (reservation price) 是做市商心里「这只股票值多少钱」的判断——压了货就打折、缺货就加价。挂单时不是围绕中间价挂，而是围绕保留价挂：库存只改变挂单的中心位置，不改变价差宽度。

保留价的定义

保留买价 r^b = 让「当前组合」和「当前组合 + 1 股」对做市商价值相同的那��买价。 保留卖价 r^a = 让「当前组合」和「当前组合 − 1 股」对做市商价值相同的那个卖价。 保留价 r = 两者平均。

这是做市商的主观估值，不是建议成交价。

保留价的闭式

不做交易、单纯持有 q 股到期的情形（Avellaneda & Stoikov 2008 式 6-8）：

r^a(s,q,t) = s + (1-2q)\frac{\gamma\sigma^2(T-t)}{2}, \qquad r^b(s,q,t) = s + (-1-2q)\frac{\gamma\sigma^2(T-t)}{2}

\boxed{\;r(s,q,t) = s - q\,\gamma\sigma^2(T-t)\;}

这是全族论文最关键的一个式子：保留价 = 中间价 − 正比于库存 q、正比于剩余时间 T-t 的项。

数值例子

设中间价 s=100、风险厌恶 \gamma=1、波动 \sigma=0.2、距到期 T-t=0.5、做市商压了 q=+10 股。

r = 100 - 10\times 1\times 0.04\times 0.5 = 100 - 0.2 = 99.8

含义：他心理上愿意用 99.8 卖出（低于中间价 100），因为压了 10 股要出。若 q=-10（空头 10 股），保留价变成 100 + 0.2 = 100.2，他会抢着在 100.2 买回来。

为什么是 q 而不是 q^2

保留价的严格来源：令 u(t,x,s,q) = -e^{-\gamma(x+qs)}e^{-\gamma qs - \frac{1}{2}\gamma^2q^2\sigma^2(T-t)}，再令「加 1 股后价值不变」，得

\frac{\partial u}{\partial q} = u \;\Longrightarrow\; -\gamma\sigma^2 - \gamma^2\sigma^2 q(T-t) + \gamma = 0

-q\,\gamma\sigma^2(T-t) 这一项的来历很直白：一项持仓 q 对组合方差的边际贡献是 2q\sigma^2，在指数效用下要求这等于风险厌恶 \gamma，解出 q 正好是线性的。

两个推论：

库存越大，保留价偏得越多——线性关系
越临近到期，偏得越少——因为到期时可以按 S_T 结算，持有到那时的风险变小了

举例：同样的 q=10，若 T-t 从 0.5 缩短到 0.1，保留价的偏离从 0.2 缩到 0.04，报价基本回到围绕中间价。

两段式报价流程

Avellaneda-Stoikov 的完整答案不是一个式子，而是两步：

第一步：解出保留买价与保留卖价 r^b(s,q,t)、r^a(s,q,t)。

第二步：解隐式方程

s - r^b(s,q,t) = \delta^b + \frac{1}{\gamma}\ln\left(1+\frac{\gamma}{k}\right), \qquad r^a(s,q,t) - s = \delta^a + \frac{1}{\gamma}\ln\left(1+\frac{\gamma}{k}\right)

两式相减得到价差与库存无关：

\boxed{\;\delta^a + \delta^b = \frac{2}{\gamma}\ln\left(1+\frac{\gamma}{k}\right)\;}

价差由两部分构成：\frac{1}{\gamma}\ln(1+\gamma/k) 来自库存敏感度，另一项来自订单到达强度 k。

举例：\gamma=0.1、k=1.5，价差 = \frac{2}{0.1}\ln(1+0.1/1.5) = 20\times 0.0645 = 1.29（美元）。不管库存 +10 还是 -10，价差都是 1.29 美元，但中心位置差 2\times 0.1\times 4\times (T-t)。

价差-偏斜分离（Guéant 2016 的推广形式）

在一般的强度函数下，指数强度时的「价差与库存无关」推广为：

\underbrace{\delta^{b*}_{\text{approx}} + \delta^{a*}_{\text{approx}}}_{\text{价差}} \approx \text{（只依赖 } \gamma,\sigma,A,k,\Delta \text{，不含 } q\text{）}

\underbrace{\delta^{b*}_{\text{approx}} - \delta^{a*}_{\text{approx}}}_{\text{偏斜}} \approx 2q\sqrt{\frac{\gamma\sigma^2}{2A\Delta k}}\left(1+\frac{\xi\Delta}{k}\right)^{k/(\xi\Delta)+1} \quad \text{（正比于 } q\text{）}

结论相同：价差不管库存，偏斜线性于库存。

一个反直觉的结果：压货时两侧报价都往下挪

\frac{d\,\delta^{b*}_{\text{approx}}}{dq} > 0, \qquad \frac{d\,\delta^{a*}_{\text{approx}}}{dq} < 0

读法：库存增加时，买价降、卖价也降。

这违反直觉——压了货不是只想卖吗，为什么买价也要降？

因为买价降才更容易成交。只有买卖两侧同时下移，才能让成交机会整体偏向「平仓」方向。单独把卖价压低会抑制卖出（价差太宽、卖单挂着不动），反而压货更多。

Guéant (2016) 原文的表述：做市商压货时会同时把买价与卖价压低，「以便提高回到平仓状态的概率」。