做市商报价的参数比较静态 (Comparative Statics of Optimal Quotes)
大白话：波动率、流动性、风险厌恶这些参数一动，最优报价怎么变？本页汇总这三组论文的实测推导结论，其中有几条与直觉相反。
一条核心等式：流动性提升 = 波动减半
Guéant (2016 证明：把成交强度函数 \Lambda 换成 \beta\Lambda（\beta>0，流动性变好），最优报价不变——等价于把波动 \sigma^2 换成 \sigma^2/\beta。
推导一行就够：H_\xi(p) 由 \Lambda 决定，而 \tilde\delta^*_\xi(p) = \Lambda^{-1}(\cdots)。\Lambda 变 \beta 倍时，\Lambda^{-1} 变 1/\beta 倍，而括号里的 H_\xi 也变 \beta 倍——两者抵消。
含义：市场流动性提升一倍 ≈ 波动减半。这是本族论文最实用的等式之一。
\beta 大 ⇒ \sigma^2 小 ⇒ 价差窄、偏斜小 ⇒ 做市商敢压更多货。这是 Guéant 等 2013 用 \partial\psi^*_\infty/\partial A < 0 也得出的同一结论（A 是成交到达频率）。
库存如何移动报价
单调性与库存同向：
\frac{d\,\delta^{b*}_{\text{approx}}}{dq} = \sqrt{\frac{\gamma\sigma^2}{2H''_\xi(0)}}\,\tilde\delta^{*\prime}_\xi(\cdot) > 0, \qquad \frac{d\,\delta^{a*}_{\text{approx}}}{dq} < 0
读法：库存增加时，买价降、卖价也降。
| 库存 q | 买价 S^b = S-\delta^b | 卖价 S^a = S+\delta^a | 意图 |
|---|---|---|---|
| q 增加 | 上升 | 下降 | 两侧同时下移，成交机会偏向平仓 |
| q 减少 | 下降 | 上升 | 两侧同时上移，同样偏向平仓 |
「压货时卖价也降」是反直觉的——直觉会以为只想卖。但单独压低卖价会抑制卖出（价差太宽、卖单挂着不动），反而压货更多。两侧同时下移才是让成交机会整体偏向平仓的正确做法。
波动率的作用分三档
Guéant (2016) 的推导——先看偏导：
\frac{d\,\delta^{b*}_{\text{approx}}}{d\sigma} = \frac{2q+\Delta}{2}\sqrt{\frac{\gamma}{2H''_\xi(0)}}\tilde\delta^{*\prime}_\xi(\cdot), \qquad \frac{d\,\delta^{a*}_{\text{approx}}}{d\sigma} = -\frac{2q-\Delta}{2}\sqrt{\frac{\gamma}{2H''_\xi(0)}}\tilde\delta^{*\prime}_\xi(\cdot)
三档结论：
| 库存位置 | 波动上升 → 买价 | 波动上升 → 卖价 | 直观说法 |
|---|---|---|---|
| q=0 | 上升 | 上升 | 扩大价差，无偏斜 |
| q\ge\Delta | 下降 | 上升 | 偏斜绝对值变大 |
| q\le-\Delta | 上升 | 下降 | 偏斜绝对值变大 |
指数强度时还能更精确：价差近似为 \sigma 的仿射函数，偏斜近似为 \sigma 的线性函数（Guéant 式 4.8/4.9）。
风险厌恶 \gamma：两股力量拉锯
Guéant, Lehalle & Fernandez-Tapia (2013 明确说 \gamma 对价差的作用方向不确定，因为做市商面对两种不同的风险：
- 成交不确定性风险（成交时机随机）：\gamma 升 → 收紧报价、减少成交次数 → 价差变窄
- 价格风险（参考价波动）：\gamma 升 → 扩大价差、减少持仓 → 价差变宽
论文画了两张图（\sigma=0.3 与 \sigma=0.6）展示不同波动下曲线形状相反。
Guéant (2016) 的 Model B 给了更干净的答案：\xi=0 时，\gamma 升等价于 \sigma^2 升 ⇒ 价差变宽、偏斜绝对值变大。这符合直觉（Model B 里 \gamma 就是纯粹罚库存的系数）。
Model A 下的拆解（Guéant 2016）：价差写成两项
\delta^{b*}+\delta^{a*} \approx \underbrace{2\tilde\delta^*_\xi(0)}_{\text{只依赖 } \gamma, k} + \underbrace{\Delta\sqrt{\frac{\gamma\sigma^2}{2A\Delta k}}\left(1+\frac{\xi\Delta}{k}\right)^{k/(\xi\Delta)+1}}_{\text{依赖波动}}
- 第一项随 \gamma 上升而减小 — 对应「减少成交不确定性」
- 第二项随 \gamma 上升而增大 — 对应「压低价格风险」
- 偏斜只由第二项决定，所以 \gamma 升 ⇒ 偏斜绝对值变大
最终解释（论文原话）：做市商面对的真风险是「价格朝不利方向动、而他来不及平仓（因为成交不确定）」——\gamma 与 \xi 都在公式里，正是因为这两种风险是绑在一起的。
到达强度参数 k
\frac{\partial \psi^*_\infty}{\partial k} < 0 \quad\text{（价差随 } k \text{ 递减）}
k 也是两股力量：
- 无波动效应（与库存风险正交）：k 升 ⇒ 成交更靠近参考价 S_t ⇒ 价差该收窄
- 库存风险效应：k 升 ⇒ 被成交概率降低 ⇒ 相当于 A 变小 ⇒ 价差该放宽
论文说数值上第 1 项在所考虑的库存范围内主导（Figure 8）。
市场冲击 \xi（逆向选择）的两种效应
Guéant 2016 的分解很清晰：
\delta^{b*}_\infty(q) \approx \underbrace{\frac{1}{\gamma}\ln\left(1+\frac{\gamma}{k}\right) + \frac{\xi}{2}}_{\text{逆向选择}} + \underbrace{\frac{2q+1}{2}\sqrt{\frac{\sigma^2\gamma}{2kA}\left(1+\frac{\gamma}{k}\right)^{1+k/\gamma}}}_{\text{库存管理的副作用}}
- 逆向选择：\xi 升 ⇒ 报价往外挪 \xi/2。因为信息型流进来时你的单会被打穿，所以要挂更远。
- 副作用：\xi 升 ⇒ 库存管理更保守（因为信息来时你可能被套在里面）。
多资产：相关性怎么进报价
Guéant 2016 的多资产结构量：
\Gamma = D^{-1/2}\left(D^{1/2}\Sigma D^{1/2}\right)^{1/2}D^{-1/2}, \qquad D = \mathrm{diag}(H^{1''}_\xi(0), \dots, H^{d''}_\xi(0))
其中 \Sigma 是资产间的（波动 × 相关）矩阵。报价近似里显式出现 \Gamma_{ij}：
\delta^{i,b*}_{\text{approx}} \approx \tilde\delta^{i*}_\xi\!\left(\frac{\sqrt{\gamma}}{2}\left[\Gamma_{ii}\,2q^i + \sum_{j\neq i}\Gamma_{ij}q^j\right]\right)
实证（CDX.NA.IG 与 CDX.NA.HY）：取 \rho \in \{0, 0.3, 0.6, 0.9\}，画 HY 买价 \delta^{HY,b}(0, q^{IG}, 0)。结论——相关性越高，做市商在 IG 有多头时，HY 的报价就应该越保守。
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