portfolio-constructionvolatility-scalingasset-allocationrisk-parityrisk-budgetingERC

Risk Parity (风险平价)

A portfolio construction principle where each asset (or sleeve) contributes equal risk to the total portfolio variance, instead of equal dollars. The portfolio-level extension of Volatility Targeting.

Definition

Given N assets with covariance matrix \Sigma, find weights w \in \mathbb{R}^N such that each asset's marginal contribution to risk is equal:

w_i \cdot (\Sigma w)_i = \frac{w^T \Sigma w}{N}, \quad \forall i

This is a constrained optimization, typically solved via fixed-point iteration or Newton-type methods (Spinu, 2013).

Naive risk parity (diagonal approximation)

A common simplification — sometimes called "volatility targeting" at the portfolio level — uses only the diagonal of \Sigma:

w_i \propto \frac{1}{\hat\sigma_i}

This is equivalent to the Volatility Targeting formula generalized to many assets. It ignores correlations, so it over- or under-allocates to assets with high/low correlation to the rest of the book.

为什么 2008 年后流行

风险平价并不是新概念，但它在 2008 年全球金融危机之后从学术论文变成了资产管理行业的标准工具，原因是三条：

  1. 危机暴露了 60/40 的隐患。 债券的美元权重远大于股票，但对组合方差的贡献远小于股票（债券波动率约 6%、股票约 16%），60/40 本质上是一个风险集中的股票押注。危机中股债同跌，60/40 的最大回撤超过 40%。
  2. MVO 在危机中失效。 均值-方差优化的解里含 \Sigma^{-1}，估计误差被放大到荒谬的程度（见 Markowitz Curse (马科维茨诅咒)）。风险平价只用风险信息、不含预期收益，因此天然避开了「预期收益最难估」这一半的误差源。
  3. 它不需要加约束就能稳住解。 这既是优点也是缺点——见下文「加约束后风险预算会变质」。

术语上要注意区分：风险平价 (risk parity) 是等风险贡献的通俗叫法，风险预算 (risk budgeting) 是它的可调参推广，ERC (equal risk contribution) 是等风险贡献的严格说法。行业里说的「risk parity fund」通常实现的是 ERC。

ERC 的性质：它在最小方差与等权之间

Maillard、Roncalli、Teiletche (2009/2010) 给出 ERC 组合的数学性质（详见 ERC 组合性质）：

核心定理（波动率排序）。

\sigma_{\mathrm{mv}}\ \le\ \sigma_{\mathrm{erc}}\ \le\ \sigma_{1/n}

等价表述：ERC 是「加了分散化约束的最小方差组合」，即 \min_x\tfrac12x^\top\Sigma x 且 \sum_i b_i\ln x_i\ge c，其中 c=-\infty 给出最小方差组合，c=-n\ln n 给出等权组合。

特例与最优性。 ERC 与最小方差组合重合的充要条件是相关系数矩阵取到下界 \rho=-1/(n-1)（组合波动率为零）。若相关系数矩阵为常数且所有资产夏普比率相同，ERC 就是最大夏普比率组合。

实证（1 年滚动日收益估计协方差、每月末再平衡）。 全球 13 类资产（1995-01 至 2008-12）上 ERC 表现最好：年化收益 7.58%、波动 4.92%、夏普 0.67，等权组合 7.17%/10.87%/0.27，最小方差组合 5.84%/3.20%/0.49。美股 10 行业（1973-01 至 2008-12）上排序同样成立（最小方差 12.41% < ERC 15.35% < 等权 16.20%），ERC 的夏普 0.65 略低于最小方差的 0.77，但集中度（Herfindhal 指数）远低于最小方差组合，换手率也低得多。

一句话理解：ERC 是「不想把赌注全押在最低方差的组合上，也不想承担等权组合 10% 的波动」这个直觉的数学形式化。

风险预算的一般化

Bruder & Roncalli (2012) 把 ERC 推广成风险预算 (RB) 组合：投资者自己指定每个资产的风险预算 b_i（相对形式，\sum_i b_i=1），求权重使风险贡献按比例匹配预算：

RC_i(x)=b_iR(x),\qquad RC_i(x)=x_i\,\partial_{x_i}R(x)

ERC 是 b_i=1/n 的特例。 理论上（详见 风险预算与风险平价）：

  • 存在唯一性：协方差矩阵正定且所有 b_i>0 时 RB 组合存在且唯一；b_i=0 时可能出现 2^m 个解。
  • 波动率排序：\sigma_{\mathrm{mv}}\le\sigma_{\mathrm{rb}}\le\sigma_{\mathrm{wb}}，其中 \sigma_{\mathrm{wb}} 是权重预算（weight budgeting）组合的波动率。
  • 已知组合都是某种 RB：等权组合对应「风险预算正比于 beta」，最小方差组合对应「风险预算等于权重」，MDP 组合对应「风险预算正比于 x_i\sigma_i」。
  • 若 RB 组合在二次效用意义下最优，则业绩贡献等于风险贡献——这是 ERC 指数「不作主动押注」的数学表述。

实务应用（Bruder-Roncalli 2012）：风险平价基金（债券用 Citigroup WGBI、股票用 MSCI World TR Net）相对静态等权组合多出 40 bps 收益、波动低 35 bps；ERC Eurozone 指数（1993-01 至 2011-12）波动率 21.2%（Eurostoxx 50 为 22.9%）、最大回撤 55.1%（对 66.6%）、年化收益 10.7%（对 7.1%）。

非高斯扩展：换风险测度、按因子分风险

Roncalli & Weisang (2012) 的讲义《Beyond Risk Parity》从两个方向扩展风险平价。

方向一：换掉「风险」这个测度。 风险平价的「风险贡献」只在满足欧拉分解的风险测度下才有意义，因此可以把波动率换成 VaR、期望损失 (ES) 等非高斯测度。收益高斯时波动率、VaR、ES 给出同一套风险贡献划分——用 VaR 或 ES 管理风险暴露，等价于用波动率管理；非高斯时差异才显现（VaR 的风险贡献是 E[L_i\mid L=\mathrm{VaR}_\alpha(L)]，ES 的是 E[L_i\mid L\ge\mathrm{VaR}_\alpha(L)]）。

方向二：按风险因子而不是按资产分风险。 设 n 个资产由 m 个因子线性驱动：\boldsymbol{R}_t=\boldsymbol{A}\boldsymbol{F}_t+\boldsymbol{\varepsilon}_t。这一方向给出的最直观反例是「等权 ≠ 等风险」：6 个原始资产 + 3 个合成资产的组合在 3 个合成资产上风险贡献各约 33%（看似完全分散），但拆到 6 个原始资产后 80% 的风险落在第 3、4 两个资产上（RC^\star 为 59.69% 与 21.49%）。另外，beta 贡献 ≠ 风险贡献：组合 (1/3,1/3,1/3) 对因子 1 的 beta 是 0.67、因子 2 是 0.33，但约 70% 的风险来自因子 2。

一个关键的不变性结果：复制最后一个资产后 RB 组合不变（duplication invariance）；加入一个由已有资产线性组合而成的资产，RB/ERC 组合也不变（polico invariance）——前提是风险预算按因子而非按资产表达。

作者自己的评价。 Roncalli 在 2014 年明确说这类非高斯扩展「一般不产生更好的结果，且在大资产池上有计算问题」。

加入预期收益：Roncalli (2014)

这是理解风险平价局限性的关键一页。 Roncalli (2014) 开篇即承认风险平价的核心批评：它只管风险集中、不管业绩，因此「更接近被动管理而不是主动管理」。

框架。 Markowitz 本身就是一个风险最小化问题——MVO 目标 \max x^\top\mu-\tfrac{1}{2\gamma}x^\top\Sigma x 等价于最小化广义标准差风险测度：

R(x)=-x^\top(\mu-r)+c\sqrt{x^\top\Sigma x}

c 越大越偏重波动，c 越小越偏重收益。它统一了两个经典测度：高斯 VaR 取 c=\Phi^{-1}(\alpha)，高斯 ES 取 c=\phi(\Phi^{-1}(\alpha))/(1-\alpha)。

风险贡献的两项分解。 该测度下

RC_i(x)=\omega\,PC_i(x)+(1-\omega)\,VC_i(x)

其中 \pi_i=\mu_i-r 是风险溢价，PC_i=x_i\pi_i，VC_i=x_i(\Sigma x)_i/\sigma(x)。\omega 随 c 递减，直到 c^\star=(\mu(x)-r)/\sigma(x)（组合的事前夏普比率）处降到最低点；若 c>c^\star 则 \omega 转正并趋近 1。c 低于组合夏普比率时风险贡献是收益型的，高于时是波动型的，而夏普比率处存在奇点——这就是作者说的「c 必须仔细校准」。

存在性条件。 定理：若 c>SR_+（资产池的最大夏普比率），RB 组合存在且唯一；等价地只需检验 R(x_{\mathrm{mr}})>0。原因是风险测度若可能取负值，加杠杆可把它推到 -\infty，极小化问题便无下界。

战术资产配置的实证（MSCI World 股票 + Citigroup WGBI 债券，2000-01 至 2011-12；协方差用 260 个交易日滚动窗口、预期收益用过去 260 日日收益的移动平均、每周再平衡、风险预算相等）：

策略 年化收益 % 年化波动 % 夏普 最大回撤 % 换手
RP #0（纯风险平价） 5.10 7.30 0.35 −21.39 0.30
RP #1（加入趋势的主动版） 6.36 7.74 0.50 −14.97 3.00
RP #2（RP #1 + 趋势） 7.40 8.00 0.61 −12.84 3.64

引入预期收益后换手放大约 10 倍——这正是战术（主动）性质的体现。

作者自陈的代价：引入预期收益就可能引入坏预测，ERC 原有的稳健性与简洁性随之丧失；该框架更适合「中等押注」的组合，而不是激进的交易策略。

加约束后风险预算会变质

Richard & Roncalli (2019) 处理一个实务上无法回避的问题：风险平价的优点之一是「不需要加约束」，但经理总要加约束（最低持仓、行业中性、流动性阈值、换手上限）。此时：

  • 严格定义失效。 RC_i(x)=b_iR(x) 与 x\in\Omega 常常无解（无约束解一般不在 \Omega 里）。
  • 事前预算 ≠ 事后贡献，次序甚至反转。 4 资产例子中风险预算为 30%/30%/19.5%/20.5%，无约束时事后相对风险贡献恰为 30.00%/30.00%/19.50%/20.50%；加 x_i\le30\% 后变成 15.48%/24.96%/30.52%/29.04%——事前 b_3<b_4，事后 RC^\star_3>RC^\star_4，尽管资产 3、4 都未触及上界。「等风险贡献」这句话在约束下不再成立。
  • 正确的表述：RB 组合 = 带硬风险预算约束的最小风险组合；约束版 RB 组合 = 带软风险预算约束的最小风险组合（对数障碍形式）。
  • 未触界的资产仍保持等风险贡献（对数障碍解的特点）。
  • 缩放谜题：约束与风险测度的正齐次性可能不相容，此时数值解未必对应真正的约束 RB 组合——论文给了一个直观反例：8 类资产上「股票合计不低于 30%」与「前 4 类资产合计不超过 70%」直觉上等价，却给出不同的解（波动率 5.20% vs 5.43%）。

实务含义：用风险平价做换手控制或流动性约束时，必须清楚「风险预算」在约束下已经不再是等风险贡献目标，而是一个软约束。

算法：CCD 与高维计算

ERC/RB 没有闭式解（一般情形下解是内生的），只能数值求解。历史上 Maillard 等 (2010) 用 SQP，Spinu (2013) 用牛顿法并发现拉格朗日函数是自协调的（self-concordant）的、因而可用 Nesterov (2004) 的工具改善步长。

Griveau-Billion、Richard & Roncalli (2013) 把 RB 问题写成带对数障碍的极小化问题：

\min_{x}\ \tfrac{1}{2}x^\top\Sigma x-\lambda\sum_{i=1}^{n}b_i\ln x_i

然后套用机器学习里的循环坐标下降 (CCD)。每次只优化一个坐标、每次更新归结为一个二次方程取正根、每次迭代只需一次矩阵-向量乘法。

性能对比（Eurostoxx 50 的 ERC 回测，1989-12 至 2012-12）：SQP 收敛频率 94.96%、平均耗时 2.00（1/100 秒）；Jacobi 92.02%、0.04；Newton 100%、0.04；Nesterov 100%、0.05；CCD 100%、0.12。S&P 500 上 SQP 不收敛，Jacobi 收敛频率仅 69.14%。

n>500 的表现（Davies-Higham 2000 生成的模拟相关矩阵）：

n Jacobi Newton Nesterov CCD
500 不收敛 24 37 13
1000 不收敛 215 384 45
1500 不收敛 790 1575 110

分界线在 n=250 附近：少于 250 个资产时牛顿法更快，超过 250 时 CCD 更高效。

约束版（Richard-Roncalli 2019）引入 ADMM、近端算子与 Dykstra 算法，并报告传统约束优化算法（SQP、信赖域、内点法）都找不到解。

实现细节会改变结论。 牛顿法若直接算 Hessian 的逆而非用 Cholesky 分解，n=1500 的例子会从 7.90 秒变成 35.40 秒；CCD 的耗时取决于编程语言的循环效率——Matlab 和 R 里牛顿法反而更快，C、Fortran、Gauss 里 CCD 更快。

Why it matters

  • In a 60/40 stock-bond portfolio, the bond allocation is dollar-larger than the stock allocation but contributes far less risk (because bond vol is ~6% vs. stock vol ~16%). The 60/40 is implicitly a risk-concentrated equity bet.
  • A risk-parity version (e.g., All Weather, Bridgewater) equalizes risk contributions and historically has comparable returns to 60/40 with smaller drawdowns.
  • Combined with Time-Series Momentum or CTA Strategy overlays, risk parity + TSMOM has produced strong Sharpe ratios; Moskowitz et al. (2025) report that the optimal weight on NLTSMOM in a risk-parity-plus-TSMOM book is >50%.

Common variants

  • ERC (Equal Risk Contribution): the strict version above.
  • Maximum diversification: \max_w \, w^T \sigma / \sqrt{w^T \Sigma w} — closely related, but not exactly risk-parity.
  • Risk-budgeting: allow unequal risk contributions but specify a target budget b_i per asset.

Practical considerations

  • Estimation error in \Sigma: sample covariance is noisy; shrinkage estimators (Ledoit-Wolf) are standard. Bruder 等 (2013) 指出 MVO 的解含 \hat\Sigma^{-1}，其最大特征值对应协方差矩阵的最小特征值（噪声因子）；风险平价绕开了 \mu，但同样逃不掉 \Sigma。
  • Negative-yield regimes: risk parity tends to lever up bond allocations when bond vol is low; if yields are negative, the carry is unattractive.
  • Leverage: ERC of equities + bonds typically requires 2–4× leverage to match stock-bond-portfolio risk; this is a margin/liquidity concern.
  • Turnover: 用短期协方差矩阵做日/周再平衡时配置会很跳、换手很大；Richard-Roncalli 2019 用 \ell_1 范数约束（\tau(x\mid x_0)=\lVert x-x_0\rVert_1\le\tau^\star）直接控制换手，放宽上限时组合单调趋近 ERC。
  • 约束会打断风险预算：见上文「加约束后风险预算会变质」。

与均值-方差优化 (MVO) 的对照

MVO 与风险平价都在回答「权重该给多少」，但用的信息量完全不同：

  • MVO 用完整协方差矩阵：目标函数里同时出现期望收益向量 \mu 与 \Sigma，最优权重是 w^* \propto \Sigma^{-1}\mu——N 只资产的组合共有 N(N+1)/2 个协方差参数要估，估计误差被 \Sigma^{-1} 放大（见 Markowitz Curse (马科维茨诅咒)）。
  • 风险平价只用边际风险贡献：约束条件是每个资产对组合方差的贡献相等，w_i(\Sigma w)_i = w^\top\Sigma w/N。它仍然需要 \Sigma，但不需要 \mu，因此避开了「预期收益最难估」这一半的误差源。
  • 两者都逃不掉 \Sigma：朴素风险平价（只取 \Sigma 的对角线、w_i \propto 1/\hat\sigma_i）等于假设资产间零相关，在相关性高时会严重低估分散化效果。

对应到 Markowitz 1952 的原始表述：风险由对组合方差的贡献（主要是与其它资产的协方差）决定，而不是由各证券自身方差决定——风险平价正是把这条原则反过来用作构造规则。

稳健性的量化对比。 Bruder & Roncalli 2012 给出三资产例子：把相关系数从 80% 调到 90%，MVO 组合从 (38.3%, 20.2%, 41.5%) 变成 (44.6%, 8.9%, 46.5%)，RB 组合只从 (38.3%, 20.2%, 41.5%) 变成 (38.9%, 20.0%, 41.1%)。作者用信息矩阵 I=\hat\Sigma^{-1} 的特征分解解释：MVO 组合对 I 的大特征值（对应 \Sigma 的小特征值，即噪声因子）权重最大。

另一种稳定化路线。 Bruder、Richard、Gaussel & Roncalli (2013) 综述了 MVO 的正则化手段（权重约束、重采样、协方差收缩、Lasso/ridge 惩罚），并把风险预算方法看作「不需要额外加约束来正则化」的替代路线——见 组合优化的正则化。

See also

References

  • Spinu, F. (2013). "An Algorithm for Computing Risk Parity Weights." SSRN.
  • Moskowitz, T.J., Sabbatucci, R., Tamoni, A., & Uhl, B. (2025). "Nonlinear Time Series Momentum." Working paper, §4 (Table 4: optimal weight in RP+TSMOM portfolio).
  • Maillard, S., Roncalli, T. & Teiletche, J. (2010). "The Properties of Equally Weighted Risk Contribution Portfolios." Journal of Portfolio Management, 36(4), 60-70.
  • Bruder, B. & Roncalli, T. (2012). "Managing Risk Exposures using the Risk Budgeting Approach." SSRN Working Paper 2009778.
  • Roncalli, T. & Weisang, G. (2012). Beyond Risk Parity. Lyxor Asset Management.
  • Bruder, B., Richard, J.-C., Gaussel, N. & Roncalli, T. (2013). "Regularization of Portfolio Allocation." SSRN Working Paper 2767358.
  • Griveau-Billion, T., Richard, J.-C. & Roncalli, T. (2013). "A Fast Algorithm for Computing High-dimensional Risk Parity Portfolios." SSRN Working Paper 2325255.
  • Roncalli, T. (2014). "Introducing Expected Returns into Risk Parity Portfolios." SSRN Working Paper 2321309.
  • Richard, J.-C. & Roncalli, T. (2019). "Constrained Risk Budgeting Portfolios: Theory, Algorithms, Applications & Puzzles." Eisler Capital / Amundi Asset Management.

来源