risk-parityERCportfolio-constructionvolatilitytheoremasset-allocation

ERC 组合性质 (Properties of ERC Portfolios)

等风险贡献 (ERC) 组合在数学上处在什么位置：它的波动率必然落在最小方差组合与等权组合之间，等价于「加了分散化约束的最小方差组合」，在常数相关矩阵下又恰好是最大夏普比率组合。

它是什么

给定 n 个风险资产的协方差矩阵 \Sigma，组合波动率 \sigma(x)=\sqrt{x^\top\Sigma x}。第 i 个资产的边际风险贡献是 \partial_{x_i}\sigma(x)，总风险贡献是 \sigma_i(x)=x_i\,\partial_{x_i}\sigma(x)。波动率是 1 次齐次函数，按欧拉定理可以完全分解到各资产：

\sigma(x)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i(x)

ERC 组合就是让所有资产的总风险贡献相等的组合（\sigma_i(x)=\sigma(x)/n），等价于

x_i(\Sigma x)_i \quad \text{对所有 } i \text{ 相等}

只做多约束下（0\le x\le 1）。

解析解只在特例下存在

特例 ERC 权重
两个资产 与相关系数 \rho 无关
所有资产两两相关系数相同（\rho_{i,j}=\rho） x_i\propto1/\sigma_i（按波动率调和平均归一）
所有波动率相同而相关系数各异 x_i 与该资产的「加权平均相关系数」成倒数关系

一般情形下解是内生的——权重同时依赖 \Sigma 的所有元素，无法写成显式公式，必须用数值算法（见 高维风险平价算法）。

核心定理：波动率排序

\sigma_{\mathrm{mv}}\ \le\ \sigma_{\mathrm{erc}}\ \le\ \sigma_{1/n}

等价表述：ERC 是「加了分散化约束的最小方差组合」，即

\min_x \tfrac12 x^\top\Sigma x \quad \text{s.t.}\ \sum_i b_i\ln x_i\ge c

其中 c=-\infty 给出最小方差组合，c=-n\ln n 给出等权组合。

特例与最优性。 ERC 与最小方差组合重合的充要条件是相关系数矩阵取到下界 \rho=-1/(n-1)（此时组合波动率为零）。若相关系数矩阵为常数且所有资产的夏普比率相同，ERC 组合就是最大夏普比率组合。

三组实证

1 年滚动日收益估计协方差、每月末再平衡。

样本 最小方差 ERC 等权
全球 13 类资产（1995-01 至 2008-12） 收益 5.84% / 波动 3.20% / 夏普 0.49 收益 7.58% / 波动 4.92% / 夏普 0.67 收益 7.17% / 波动 10.87% / 夏普 0.27
美股 10 行业（FTSE-Datastream，1973-01 至 2008-12） 波动 12.41% 波动 15.35% 波动 16.20%

美股样本上 ERC 的夏普 0.65 略低于最小方差的 0.77，但集中度（Herfindhal 指数）远低于最小方差组合，换手率也低得多。农产品组合（8 个品种，1979-01 至 2008-03）中等权组合的风险有相当大一部分来自白糖，最小方差组合则把风险集中在活牛上——ERC 是两者之间的中间方案。

加约束后 ERC 性质不再成立

这是 Richard & Roncalli (2019) 的关键发现。 一旦加入权重约束（最低持仓、行业中性、流动性阈值），事前定下的风险预算与事后实现的风险贡献就不再相等，「等风险贡献」这句话失去意义，甚至次序会反转：4 资产例子中风险预算为 30%/30%/19.5%/20.5%，无约束时事后相对风险贡献恰为 30.00%/30.00%/19.50%/20.50%，加 x_i\le30\% 约束后变成 15.48%/24.96%/30.52%/29.04%——事前 b_3<b_4，事后 RC^\star_3>RC^\star_4，尽管资产 3、4 都未触及上界。

不过未触界的资产仍保持等风险贡献（对数障碍解的特点，最小二乘解没有这个性质）。

与其他概念的关系

局限与开放问题

  • 上述定理只对波动率成立。论文脚注指出：只要风险测度对权重是线性齐次的，总风险就能完全分解到各资产（VaR 在一定条件下也满足），但换测度后波动率排序不再有对应结论。
  • 所有结论基于事前风险贡献，不涉及已实现损失的归因。
  • 实证未计交易成本，作者自陈因此可能低估了 ERC 相对最小方差组合的收益优势。
  • ERC 与最大分散化组合 (MDP) 通常不同，只有在相关系数矩阵唯一时才相同。

来源