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风险预算与风险平价 (Risk Budgeting and Risk Parity)

风险预算 (RB)：投资者自己指定每个资产「应该承担多少风险」，求权重使各资产的风险贡献按比例匹配这个预算。风险平价 (RP) 是「所有资产的风险预算相等」的特例。

风险预算的定义

设组合 x 的风险测度为 R(x)。当风险测度一致且凸（Artzner 等 1999）时满足欧拉分解：

R(x)=\sum_{i=1}^{n}x_i\,\partial_{x_i}R(x)=\sum_{i=1}^{n}RC_i(x)

第 i 个资产的风险贡献 RC_i(x)=x_i\,\partial_{x_i}R(x)。给定风险预算 (b_1,\dots,b_n)（相对形式，\sum_i b_i=1），RB 组合是满足下述非线性方程组的解：

RC_i(x)=b_iR(x),\quad i=1,\dots,n

规范形式要求 b_i>0、x_i>0。以波动率为风险测度时 R(x)=\sqrt{x^\top\Sigma x}，边际风险 \partial_{x_i}\sigma=(\Sigma x)_i/\sigma(x)，于是 RC_i(x)=x_i(\Sigma x)_i/\sigma(x)。

为什么必须 b_i>0。 至少两个原因：其一，若某些 b_i=0，可能出现 2^m 个解（m 是「边际风险与预算同时为零」的资产数），IB 建议的做法是先把零预算资产移出资产池；其二，CCD 类数值算法在 b_i=0 时未定义。

ERC 是 RB 的特例

ERC（等风险贡献） 就是 b_i=1/n 的 RB 组合。此时 RC_i(x)=\sigma(x)/n 对所有 i 成立，等价于 x_i(\Sigma x)_i 相等。ERC 的数学性质（波动率排序、与最小方差组合的关系、在常数相关矩阵下等于最大夏普比率组合）见 ERC 组合性质。

RB 的理论结果

存在性与唯一性。 当协方差矩阵正定且所有 b_i>0 时，RB 组合存在且唯一；可由「凸二次函数 + 凸下界」的极小化程序给出（对数障碍形式 \min_x\frac12x^\top\Sigma x-\lambda\sum_i b_i\ln x_i，\lambda 由 \sum_i x_i=1 定出）。

波动率排序。

\sigma_{\mathrm{mv}}\ \le\ \sigma_{\mathrm{rb}}\ \le\ \sigma_{\mathrm{wb}}

其中 \sigma_{\mathrm{wb}} 是权重预算 (weight budgeting, WB) 组合——即让权重本身按 b_i 分配的组合。等价表述是 RB 是「加了 \sum_i b_i\ln x_i\ge c 分散化约束的最小方差组合」，c=-\infty 给出 MV，c=\sum_i b_i\ln b_i 给出 WB。

两资产解析解依赖相关系数（这与 ERC 不同）：\rho=0 时 x_i\propto\sqrt{b_i}/\sigma_i；\rho=1 时 x_i\propto b_i；\rho=-1/(n-1)（常数相关矩阵的下界）时组合波动率为零，解退回 ERC。

已知组合都是某种 RB 组合

这是把 RB 与既有实践接上的关键一步：

组合 对应的风险预算
等权组合 b_i\propto 组合 beta
最小方差组合 b_i= 权重
最大分散化组合 (MDP) b_i\propto x_i\sigma_i
ERC b_i=1/n

若 RB 组合在二次效用意义下最优，则它的业绩贡献与风险贡献成正比——这正是「ERC 指数不作主动押注」的数学表述，也是理解「风险平价更接近被动管理」的原始论据（ Roncalli 2014 明确批评了这一点，见 Risk Parity）。

加约束后 RB 的含义会变

这是 Richard & Roncalli (2019) 的贡献，也是实践中最容易踩的坑。 实务中经理总要加约束（最低持仓、行业中性、流动性阈值、换手上限），此时：

  • 严格定义 RC_i(x)=b_iR(x) 与 x\in\Omega 常常无解（因为无约束解 x^\star(S) 一般不在 \Omega 里）；
  • 常见做法是改成近似等式（最小二乘形式），但这会丢掉「最小化风险测度」这一维；
  • 论文主张的正确形式是对数障碍形式：RB 组合 = 带硬风险预算约束的最小风险组合，约束版 RB 组合 = 带软风险预算约束的最小风险组合；
  • 后果是事前风险预算 ≠ 事后风险贡献，甚至次序反转。

与其他概念的关系

局限与开放问题

  • RB 组合是启发式方法，没有金融理论证明它是最优组合。来源（收益来源）仍是开放问题（Bruder-Roncalli 2012 自陈）。
  • RB 只用风险信息、不含预期收益，因此「业绩贡献 = 风险贡献」在实践中表现为「不管业绩」。
  • 零风险预算的资产必须先移出资产池，这是一个实用变通而非唯一正解。

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