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CAPM 均衡 (Capital Asset Pricing Model Equilibrium)

一句话：所有投资者都面对同一条风险资产的风险-收益直线——证券市场线 (Security Market Line)；这条线由「市场组合」与「无风险资产」两点确定，而每只证券的期望收益只取决于它与市场组合的协方差 \beta。

三个组成部分

市场组合 (market portfolio)：按市值（或均衡中的存量比例）加权持有全部风险资产的组合。在 Mossin 1966 的推导里，它的严格含义是每个投资者持有每一种风险资产的同一比例。

无风险资产：纯利率 r_f 由市场给定。Mossin 把第 n 种资产设为无风险资产、价格固定为 p_n = q，于是纯利率 r_n = 1/q - 1——他明确指出均衡只能定出相对价格，把 p_n 固定为 q 实际上是把纯利率固定下来。

证券市场线：证券 i 的期望收益与其与市场组合的协方差成线性关系：

E[r_i] = r_f + \beta_i \bigl( E[r_M] - r_f \bigr), \qquad \beta_i = \frac{C_{im}}{V_m}

其中 C_{im} 是证券 i 与市场组合的协方差，V_m 是市场组合方差。

Sharpe 特别强调两点常被误解的事实：这一关系对所有组合都成立（组合的期望收益与协方差都是成分证券的市值加权平均）；以及期望收益与「市场风险」线性相关，而不是与「总风险」线性相关。

两条推导路线

Sharpe 路线：加权聚合。 K 个投资者，投资者 k 的财富占比 W_k，目标函数为

U_k = E_k - \frac{V_k}{2z_k}

（z_k 是风险容忍度 risk tolerance）。Sharpe 给出这个量的三种读法：V_k/z_k 是「风险罚金」，U_k 是风险调整后的期望收益，也等于一个确定性等价收益率；若效用是负指数型且收益联合正态，该式精确等于期望效用，否则依 Levy & Markowitz (1979) 仍是极好的近似。推导方式是把每个投资者的一阶条件按财富加权求和——Sharpe 自称「不需要多少运算」就得到与市场组合协方差有关的线性关系。

Mossin 路线：完整一般均衡。 在交换经济里（m 个投资者、n 种资产、收益率分布对所有人相同、偏好 U = F^A(\bar Y, \overline{Y}^2) 对期望收益凹对方差凸、价格内生决定），Mossin 写完整方程组再求解，得到

\frac{m_j R_j}{V_j} = \frac{m_k R_k}{V_k}, \quad j,k = 1,\dots,n-1

其中 m_j = \mu_j/p_j - 1/q 是风险边际，R_j 是资产 j 按市价计的总市值，V_j 是全部在外流通股票的收益率方差。含义是每种资产所支付的「总风险补偿」与其总量方差的比值对所有资产相同——这就是「风险价格」在资产层面的表述。Mossin 由此得市场线

u_1 = \lambda u_2 + \frac{1}{q}

（u_1, u_2 是每位投资者每美元均衡组合的期望收益与标准差），斜率 \lambda 即风险价格。

两人结论一致。差别在于 Mossin 明确点出 Sharpe 1964 的一般描述在均衡条件的规定上缺乏精确性，而自己「宁可假定均衡存在，转而研究均衡变量的性质」——用限制性假设换取确定的答案。

两支基金分离

任意两个有效组合的任意组合都能给出每位投资者的最优组合。 自然的两个选择是风险容忍度为零的最小方差组合与市场组合。存在无风险资产时，最小方差组合就是无风险资产本身，于是所有投资者都持有「无风险资产 + 市场组合」的组合；风险容忍度大于社会风险容忍度 \bar z 的投资者会借入无风险资产并做多市场组合。

Tobin 1958 在讨论多资产「优势组合 (dominant set)」时已经得到过这个结构的先声：等收益轨迹是直线、等风险轨迹是椭圆面，且所有优势组合都落在同一条从原点出发的射线上 —— 非现金资产之间的相对配置与其总仓位无关，可以视作一个合成资产。

约束的代价：禁止负持仓的极端版本

Sharpe 1990 把模型改成不允许任何负持仓的极端情形，用 Kuhn-Tucker 条件刻画（组合内的证券必须有相同的边际效用，组合外的证券边际效用必须更低），加权聚合后得到

E_i = \alpha + \beta_i \lambda + \gamma_i, \qquad \gamma_i \ge 0

只有在每位投资者组合内的证券才有 \gamma_i = 0（所有 \gamma_i 的加权平均为零）；任何被至少一位投资者排除在组合外的证券都落在证券市场线的下方，且约束绑得越紧 \gamma_i 越大。若所有投资者风险容忍度相同，\gamma_i 全为零，退化为原 CAPM。

其它后果：不允许无风险借款 \Rightarrow \lambda \ge R_f；市场组合可能无效；非负约束使有效前沿在持仓空间里分段线性，两基金分离不再严格成立（一段内的有效组合可由该段内任意两个组合得到，但找不到两个组合覆盖全部有效组合）。Sharpe 总结这意味着风险配置效率下降——企业/政府的资本成本估算不再能用单一的市场风险-收益关系。

股指期货与风险守恒

Sharpe 指出股指期货能把实际市场拉回 CAPM 理想世界：期货是标准化远期 + 每日盯市，保证金通常只需覆盖两个交易日内的潜在损失，10%–20% 的头寸价值通常足够；它提供「同时持有多头分散化股票组合与负头寸无风险资产」的高效手段，效果近似于借入无风险资金买入指数成分股。Sharpe 明确指出高风险容忍度投资者的最优策略正是「杠杆持有高度分散化的市场组合」。

Miller 1990 从公司金融一侧给出同构的结论：M&M 命题是金融学的守恒律 —— 被守恒的是公司经营性资产产生的盈利流的风险，加杠杆或去杠杆只是把这份风险在债权人、股东之间重新划分。他用 10 人的例子说明：换债之后 7 名债券持有人与 3 名股东平均而言都更风险，但总风险与之前完全相同。

与其他概念的关系

局限与开放问题

  • CAPM 是正的（描述性）理论，建立在效用假设之上；基于套利的理论（Black-Scholes、APT）对效用假设极弱，但不给出均衡持仓的唯一刻画
  • CAPM 不假设收益生成过程，因此与任何生成过程都相容——但多因子模型中 Ross (1976) 的 APT 只给出近似线性关系，且不给出系数的符号与量级
  • 残差相关性不受限制：特征线 R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + \varepsilon_i 中 \varepsilon_i 与 \varepsilon_j 之间不必不相关（除证券数无穷多外严格不相关不可能成立）；CAPM 只限制截距 \alpha_i 必须与 \beta_i 直接相关
  • 单指数模型的现实检验：Sharpe 自己的 CAPM 实证版本（Sharpe (1964) 之前的大量工作）长期被批评为在样本外表现不佳；这直接催生了多因子与 APT 路线

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