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Capital Asset Prices with and without Negative Holdings (Sharpe 1990)

William F. Sharpe (Stanford University Graduate School of Business) · Nobel Lecture, December 7, 1990 · Les Prix Nobel 1990, pp. 313-332 · 20 页 本次归档: raw/papers/199012-capital-asset-prices-negative-holdings/ (paper.pdf 339 KB + extracted.md)

一句话核心

Sharpe 在诺贝尔演讲里做两件事。第一，把 CAPM 完整重述一遍：K 个投资者、每人最大化均值-方差效用，把各人最优条件按财富加权聚合，就得到预期收益与市场协方差的线性关系，即证券市场线 (SML)；市场组合有效，所有投资者只需持有「市场组合 + 无风险资产」两支。第二，把这个模型改造成「不允许任何负持仓」的极端版本：此时证券市场线不再成立——只有所有投资者都持有的证券才落在线上，其余证券落在线下，市场组合甚至可能无效，两基金分离也不再严格适用。演讲最后指出股指期货正是能把实际市场拉回 CAPM 理想世界的金融创新。

问题与关键结构

假设（CAPM 版本）。 经济中有 K 个投资者，投资者 k 的财富占总财富比例为 W_k；其目标函数是

U_k = E_k - \frac{V_k}{2z_k}

其中 E_k 是组合期望收益、V_k 是方差、z_k 是风险容忍度 (risk tolerance)。Sharpe 给出 U_k 的三种读法：V_k/z_k 是「风险罚金」，U_k 是风险调整后的期望收益，也等于一个确定性等价收益率。他强调：若效用是负指数型且收益联合正态，该式精确等于期望效用；否则依 Levy & Markowitz (1979)，U_k 仍是极好的近似。

推导路线（与 Mossin 1966 的对比）。 Mossin 写完整的一般均衡方程组再求解；Sharpe 走捷径：把每个投资者的一阶条件按财富加权求和（aggregation），「不需要多少运算」就得到与市场组合协方差有关的线性关系。

关键发现

1. 证券市场线。 均衡下证券 i 的期望收益与其与市场组合的协方差 C_{im} 线性相关。定义 \beta_i = C_{im}/V_m（V_m 为市场组合方差），得

E_i = R_f + \beta_i (E_m - R_f)

Sharpe 强调这一关系对所有组合都成立（组合的期望收益与协方差都是成分证券的市值加权平均）。他特别指出：期望收益与「市场风险」线性相关，而不是与「总风险」线性相关 —— 这常被误解。

2. 风险溢价的量纲。 均衡条件给出「每单位方差的风险溢价」，它与社会风险容忍度成反比。社会风险容忍度是各投资者风险容忍度的财富加权平均。

3. 市场组合有效。 若某投资者的风险容忍度等于社会风险容忍度并持有市场组合，其一阶条件对每只证券都成立，故市场组合对该投资者最优 ⇒ 市场组合有效。

4. 两基金分离定理。 任意两个有效组合的任意组合都能给出每位投资者的最优组合。自然的两个选择是：风险容忍度为零的最小方差组合与市场组合。存在无风险资产时，最小方差组合就是无风险资产本身，于是所有投资者都持有「无风险资产 + 市场组合」的组合。风险容忍度大于 \bar z 的投资者会借入无风险资产并做多市场组合。

5. 特征线 (characteristic line)。 把回归式写为 R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + \varepsilon_i，其中 \mathbb{E}[\varepsilon_i]=0 且 R_i 与 \varepsilon_i 不相关。但 \varepsilon_i 与 \varepsilon_j 之间不必不相关（除证券数无穷多外，严格不相关不可能成立）—— CAPM 对残差相关性不作任何限制，只限制截距 \alpha_i 必须与 \beta_i 直接相关。

6. CAPM 不假设收益生成过程。 Sharpe 强调：CAPM 对「收益由什么过程生成」不作任何假设，因此与任何生成过程都相容。单指数/单因子模型只是因子模型的一个特例；多因子模型中若残差不相关，Ross (1976) 的 APT 只给出近似线性关系，且不给出系数的符号与量级——这些必须靠 CAPM 的效用假设补上。

7. 允许负持仓时，CAPM 的三条推论。 市场组合有效；所有有效组合都等价于「市场组合 + 可选的借贷」；预期收益与 \beta 线性相关。

8. 禁止负持仓时，三条推论全部失效。 用 Kuhn-Tucker 条件刻画：组合内的证券必须有相同的边际效用，组合外的证券边际效用必须更低。加权聚合后得到一个带额外项的定价关系：

E_i = \alpha + \beta_i \lambda + \gamma_i

其中 \gamma_i \ge 0，只有在每位投资者组合内的证券才有 \gamma_i = 0（即所有 \gamma_i 加权平均为零）；任何被至少一位投资者排除在组合外的证券都落在证券市场线的下方，且被约束绑得越紧、\gamma_i 越大。若所有投资者风险容忍度相同，\gamma_i 全为零，退化为原 CAPM；风险容忍度差异越大，\gamma_i 越可能为正。

9. 禁止负持仓的其它后果。 不允许无风险借款 ⇒ \lambda \ge R_f；市场组合可能无效；因非负约束使有效前沿在持仓空间里分段线性，两基金分离不再严格成立（一段内的有效组合可由该段内任意两个组合得到，但找不到两个组合覆盖全部有效组合）。Sharpe 总结：这意味着风险配置效率下降，企业/政府的资本成本估算不再能用单一的市场风险-收益关系。

10. 股指期货。 期货是标准化远期 + 每日盯市，保证金通常只需覆盖两个交易日内的潜在损失，10%–20% 的头寸价值通常足够。它提供「同时持有多头分散化股票组合与负头寸无风险资产」的高效手段，效果近似于借入无风险资金买入指数成分股。卖方的净头寸若用实际持股对冲，则近乎无风险，等价于无风险资产。Sharpe 指出：高风险容忍度投资者的最优策略正是「杠杆持有高度分散化的市场组合」 —— 因此股指期货能让实际市场更接近 CAPM 理想世界。

重要 caveat

  • 演讲稿中大部分公式在扫描文本层缺失（显示为 ==> picture [...] intentionally omitted <==>）；本页只写出能从正文文字确认的关系式（\beta 定义、U_k 形式、\gamma_i 项的存在与方向）。
  • 禁止负持仓的版本是极端情形（「不允许任何负头寸」），Sharpe 自己承认「与原 CAPM 的偏离幅度可能很小」，其意义在于揭示约束的方向性而非提供现实的校准。
  • 关于「零 \beta 组合」，Sharpe 引用 Black (1972) 的最小方差零 \beta 组合，但强调 R_f 与它只是「解释上相近」，未必相等。
  • Sharpe 提醒：CAPM 属于正的（描述性）理论，建立在效用假设之上；与之相对的是基于套利的理论（Black-Scholes、APT），后者对效用的假设极弱，但也不给出均衡持仓的唯一刻画。

对 quant wiki 的意义

  1. 本文是库内 CAPM 均衡 一页的直接来源：证券市场线、\beta 定价、市场组合有效性、两基金分离这四条都在这里被推导。
  2. 「禁止负持仓 ⇒ 证券落在 SML 下方、市场组合可能无效、两基金分离失效」这一节，给库内的约束型组合优化提供了教科书级的对照，可与 Markowitz Curse 讨论的「估计误差 vs 约束」两类失效来源并置。
  3. 股指期货一节把「理论上的两基金分离」与「实务中的融资工具」接上，是把 CAPM 用到实盘时最常被忽略的一环。

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