Equilibrium in a Capital Asset Market (Mossin 1966)

Jan Mossin (The Norwegian School of Economics and Business Administration) · Econometrica, Vol. 34, No. 4 (Oct., 1966), pp. 768-783 · 16 页本次归档: raw/papers/196610-equilibrium-in-a-capital-asset-market/ (paper.pdf 432 KB + extracted.md)

一句话核心

本文把 Markowitz 式的均值-方差组合选择放进一个交换的一般均衡模型里：m 个投资者带着各自的初始持仓进入市场，n 种资产的收益率分布对所有人相同，投资者按「期望收益 vs 方差」的凹效用最大化并受预算约束，价格 p_j 内生决定。作者证明均衡存在时必然存在一条「市场线」——所有投资者每美元持仓的期望收益与标准差落在同一条直线上，其斜率就是「风险价格」；同时证明每个投资者在均衡中持有每一种风险资产的同一比例。

问题与关键结构

资产与单位。 收益率必须相对于某种共同的实物单位来度量才有意义（否则均值-方差平面上的点没有可比性）。作者以「一份股票」为单位，说明若换成一百分股，期望收益变为 100\mu、方差变为 10{,}000\sigma^2。两种资产只有当收益率完全相同时才被认定为「同一种」资产（用彩票号码的例子说明这一约定的必要性）。

无风险资产与计价单位。 第 n 种资产设为无风险资产（\sigma_{nk}=0），其价格固定为 p_n = q，一美元在一年后确定值一美元，因此纯利率为 r_n = 1/q - 1。作者指出：均衡只能定出相对价格，把 p_n 固定为 q 实际上是把纯利率固定下来。

个体最优。 投资者 i 的效用为 U = F^A(\bar{Y}, \overline{Y}^2)，对期望收益凹、对方差凸（一阶正、二阶负），约束是预算方程 (4)。写成拉格朗日形式并消掉乘子，得到关于 n 个资产持仓的一阶条件 (5)(6)，其中 -f_1/f_2 就是方差对均值的边际替代率。

市场出清。 对所有投资者加总预算方程得 Walras 法则 (8)，因此 n-1 个出清条件即可 (7)。

关键发现

1. 均衡配置是帕累托最优的。 由于偏好凹，竞争均衡的一般性质直接给出这一点。

2. 风险边际 (risk margin) 与风险价格。 风险资产的预期收益率 r_j = \mu_j/p_j - 1，风险边际 m_j = r_j - r_f = \mu_j/p_j - 1/q。把均衡条件 (5) 加总并用市场出清，得关键关系：

\frac{m_j R_j}{V_j} = \frac{m_k R_k}{V_k}, \quad j,k = 1,\dots,n-1

其中 R_j = p_j \bar{x}_j 是资产 j 按市价计的总市值，V_j 是全部在外流通股票的收益率方差。含义：每种资产所支付的「总风险补偿」与其总量方差的比值，对所有资产相同 —— 这就是「风险价格」在资产层面的表述。

3. 均衡组合的成分。 记 z_j 为投资者 i 持有资产 j 在其总在外存量中的比例，由 (12)(13)(14) 可证所有 z_j 相等（记作 z_i）：每个人持有每一种风险资产的同一比例（这个比例因人而异）。等价地说，任意两个投资者对任意两种风险资产的持仓比值相同。无风险资产的比例则取决于各人的风险态度。

4. 负持仓被排除。 均衡方程 (5) 中含正项求和，迫使 \sum_j \sigma_{jk}x_{jk} > 0，从而 z_i > 0，即均衡解中不会出现负的资产持仓。

5. 市场线是直线。 定义每位投资者每美元均衡组合的期望收益 u_1 与标准差 u_2（把组合切成若干「每份一美元」的等比例小包），由 (15) 得

u_1 = \lambda u_2 + \frac{1}{q}

即所有点落在一条直线上，截距 1/q 是纯利率位置。直线的斜率 \lambda 就是风险价格，它与个体特征无关（初始持仓、效用函数都不影响其存在形式与斜率，效用只通过价格间接影响 \lambda 的取值）。

6. 市场线的正确解读。 作者特别强调：市场线不是一条可以拿来判断「某个投资者行为是否理性」的独立标准；它是理性行为结果的简写，若有人不理性，整套均衡与市场线的定义就失去意义。它只允许比较不同投资者的均衡组合的每美元收益特征。

7. 风险价格的两种等价表达。 (19) 给出 \lambda 与各资产风险边际 m_j 的算术平均关系，权重是各资产的在外存量；(20) 给出另一种形式：\lambda 等于各资产「每单位风险的补偿」m_j p_j / s_j 的平方和开方——这正好是标准差作为风险度量的自然结果。

8. 资产定义无关（公司合并不改变市场线）。 在「公司证券收益 = 其所持实物投资收益」且「实物投资收益与所有权结构无关」两条假设下，把 n-1 家原始公司重组为任意数量的新公司，市场线的存在性与斜率保持不变，每位投资者在两种情形下位于市场线上的同一点、效用不变。含义是：从估值角度看，生产的组织形式无关紧要。

重要 caveat

作者自陈设定的代价：为了得到确定的结论，必须放弃「一般性」。「一般性有其价值，但也意味着许多问题得不到确定答案」——本文的做法是施加若干限制性假设（唯一风险资产类型、收益率分布对所有投资者相同、偏好只依赖前两矩）。
作者假定协方差矩阵非奇异，并绕过了均衡解的存在性与唯一性问题（「我们宁可假定均衡存在，转而研究均衡变量的性质」）。
非负性问题在文末才回头处理（§4），作者自认需要进一步讨论。
关于主观概率，作者认为引入了也不会实质帮助（Borch 的理由：同一信息下两个理性人给出不同评价是语义问题），所以直接假设共同的主观概率信念。
数值结果：本文是纯理论推导，没有实证数据，全部结论是解析的。

对 quant wiki 的意义

本文是 CAPM 均衡侧最严格的一版推导，与 Sharpe 1990 诺奖演讲的写法对照即可看清：Sharpe 走的是「把个体最优条件按财富加权聚合」的捷径，Mossin 走的是「写完整的一般均衡系统再解」的路子，两者结论一致。
「每个投资者持有每种风险资产的同一比例」是 CAPM 均衡页里市场组合概念的严格来源，也是两基金分离定理的前提。
「风险边际与总方差成比例」这条关系，在现代因子上就是「风险溢价 / 因子暴露」的雏形，可与库内因子模型页对照。