Roll (1984) — Roll 价差：价差 = 2\sqrt{-\text{cov}}

作者: Richard Roll（UCLA 管理研究生院）

发表: The Journal of Finance 39(4): 1127–1139, 1984 年 9 月。

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这是本库已收录的 日内反转的买卖价差跳动 页的理论源头。 那个页面里"Heston 等人发现 k>1 的反转全是跳动"的判别逻辑，追到底就是这篇的这两行推导。

一句话总结

在有效市场里，价格变动的协方差等于 -s^2/4（s 是价差）。所以有效价差可以直接从日频价格序列算出来：s = 2\sqrt{-\text{cov}}——不需要任何报价数据。

逻辑起点

论文从一个假设出发：

"如果市场是信息有效的，且交易成本为零，观测到的市场价格包含全部相关信息。价格变动只会在市场参与者收到未预期的信息时发生。因此连续的价格变动之间没有序列相关。"

加入交易成本后：

  • 做市商需要补偿，通常的形式是买卖价差——一个包住资产内在价值的小区间；
  • 市场仍然是信息有效的，只要价差中点（"价值"）随机波动；
  • 新闻到达时，买卖报价同时移动，使它们的平均成为新的均衡价值。

问题的关键在这里：

"然而，观测到的市场价格变动不再独立，因为记录的成交发生在买价或卖价，而不是中点。"

这就是全篇的支点：中点随机游走，但成交价在中点两侧跳动 → 观测到的价格变动有了负序列相关。

完整推导（论文第 1129 页，OCR 质量良好）

设定：所有成交都与做市商进行，价差固定为 s 美元。

如果没有新信息：

若 t-1 的成交在 则 t 的价格变动不能
买价 为负
卖价 为正

推论：不可能连续两次同向变动（没有新信息时，价格只能在 0 与 \pm s 之间来回）。

联合概率分布（论文给出的 3\times3 表格）：

\Delta p_t \backslash \Delta p_{t+1} -s 0 +s
-s 0 1/2 1/4
0 1/4 1/4 1/4
+s 1/4 1/4 0

协方差（\Delta p_t 与 \Delta p_{t+1} 均值为零，只剩四角）：

\text{Cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t+1}) = \frac{1}{8}\left(-s \cdot s - s \cdot s\right) = -\frac{s^2}{4}

于是得到核心估计量：

\boxed{\;s = 2\sqrt{-\text{Cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t+1})}\;}

三个副产品数值

量 值
\text{Var}(\Delta p) s^2/2
一阶自相关系数 -1/2

论文对这个 -1/2 的讨论值得注意：

"这个自相关系数的量级看起来可能不合理，因为资产收益中实测到的自相关（绝对值）总是小得多……但观测到的自相关系数可能很小，是因为协方差被无条件的样本方差除掉了。观测到的价格变动的方差主要由新信息主导，而连续价格变动的协方差则主要来自价差。"

大白话：-1/2 是价差贡献的那部分的自相关；实际观测到的收益自相关被"新信息带来的大方差"稀释了。这解释了为什么实测自相关远小于 -1/2。

两个必要假设

论文明确列出：

  1. 市场信息有效；
  2. 观测到的价格变动分布是平稳的——至少在短区间内（例如两个月）。

第二个假设是 Roll 价差在实践中最大的约束：跨越不同波动状态的窗口会污染协方差估计。

论文的实证部分与一个诚实的说明

实证：检验隐含价差与公司规模的关系——发现两者紧密相关（规模大的股票价差小）。

论文自己承认的方法局限：

观测到的自相关"绝不是价差的纯粹度量"——因为还有微观结构噪声、非同步交易、其他未建模的因素。

A 股落地：一个重要的判断

Roll 价差在 A 股的适用性明显受限，原因有三：

问题 说明
涨跌幅限制 A 股有 ±10%/±5% 涨跌幅限制，而 Roll 的推导假设价格可自由在 [-s, +s] 内跳动。封板时价格固定，协方差被系统性压低
T+1 不影响协方差计算本身，但影响价差的经济解释（价差的一部分是流动性提供者的隔夜风险补偿）
平稳性 论文要求"至少两个月"的平稳窗口——A 股波动率的结构性突变（政策事件、涨停潮）比美股剧烈，这个假设更难满足

但仍有价值：

  • 它是唯一"零额外数据"的价差估计量——只要有日频收盘价就能算；
  • 作为交叉验证：把它与基于逐笔数据的 Corwin-Schultz 高低价估计量、ILLIQ 并列，三者分歧大就说明该股流动性有特殊结构。

与本库已收录 内容的对照

这是理解本 wiki 微观结构部分的一条重要线索：

层级 内容
Roll (1984) 价差 → 协方差（理论源头，日频）
Heston 等 2010 实证检验：k>1 的反转全是跳动，只有 k=1 有真实流动性恢复
Chordia-Subrahmanyam 2004 日频处理：用买卖报价中点价算收益，排除跳动

三者的关系：Roll 提出"协方差可反推价差"，Heston 用三种价格重算证明了这个跳动的存在与量级，Chordia-Subrahmanyam 用中点价规避它。

Open Questions

  1. 非同步交易对协方差的影响多大？ Roll 自己承认这是混杂因素。后续的 Hasbrouck (1991) 用成交价与订单方向的 VAR 重新度量，本 wiki 尚未收录（付费墙）。
  2. 在有涨跌幅限制的市场上该怎么修正？ 本 wiki 未见文献——这是一个明确的空白。
  3. Roll 价差与 Corwin-Schultz 估计量的差异来源？ 两者都用日频数据但构造不同。
  4. A 股的实测值是多少？ 本 wiki 尚无。

Cross-ref

关键引用

Roll, R. (1984). A Simple Implicit Measure of the Effective Bid-Ask Spread in an Efficient Market. The Journal of Finance, 39(4), 1127–1139. DOI: 10.1111/j.1540-6261.1984.tb03897.x

JEL: 无标注

主要引用：Fama (1970) 自相关的经典文献 · Glosten-Milgrom (1985) · Glosten-Harris (1988) · Stoll (1979) 交易成本分解。