Robert C Merton

一句话：MIT 经济学家，1997 年诺贝尔经济学奖得主；连续时间金融的奠基人之一，把生命周期投资问题建成随机控制问题。

注意：本页的 Robert C. Merton 与 Merton H. Miller 是不同的人；Merton 1976 Jump Diffusion 的作者也是本页这位。

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Merton 1969 — Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty — 把「一生中如何分配财富于消费与风险资产」建成连续时间随机控制问题：预算约束升级为随机微分方程，最优性由 Bellman-Dreyfus 偏微分方程 + 两条代数一阶条件刻画；在常相对风险厌恶 (CRRA) 下解出闭式解——最优风险资产比例是与财富、时点无关的常数 w^* = \frac{a-r}{\gamma\sigma^2}；在常绝对风险厌恶 (CARA) 下则是风险资产的美元金额恒定。详见生命周期投资与连续时间组合选择

方法论取向

把离散问题「连续化」本身当作贡献。 1969 年之前，Samuelson (1969) 已用动态规划做过离散时间的生命周期配置；Merton 的贡献是让资产的瞬时增长率由布朗运动驱动，于是预算约束从确定性方程变成 SDE——「不确定性使预算约束变成 SDE」。求解路线也随之改变：从 Bellman 原理展开到二阶 Taylor、取 h \to 0，得到一个非线性偏微分方程加上两条代数一阶条件（Bellman-Dreyfus 方程）。

他坚持区分「比例型」与「金额型」策略。 CRRA 下最优风险资产比例恒定；CARA 下最优风险资产美元金额恒定而比例随财富下降。Merton 说 CARA 效用「行为上不如常相对风险厌恶合理」，且其替代效应除 r=0 外为零。这个区分对理解后来基于风险度量调节仓位的做法（波动率管理组合一类）有直接参考价值。

他对「离散 vs 连续」的敏感也体现在自我批评上。 Rubinstein 在五十年回望里引 Markowitz 1970 年的自评：Markowitz 1959 年书的消费-投资章节相对后来的分析有三点不足——离散时间（而非 Merton 1969 的连续时间）、未反映近视效用函数的发现（Mossin 1968、Samuelson 1969）、未考虑由消费者-投资者博弈构成的市场（Sharpe 1964）。Merton 1969 正是针对第一条。

他也明确划出了方法边界：模型可推广到 Markov 过程、更一般的生产函数与随机技术进步，但「由于最优性方程含偏微分方程，哪怕稍加推广的模型数值求解也相当困难」。全文只考虑内部最优解（脚注 6 说明本可用 Kuhn-Tucker 形式表述，那样一阶条件要换成不等式）。

关键事实

1997 年诺贝尔经济学奖
1969 年论文写作期间为 National Defense Education Act Fellowship 获得者，致谢 Paul A. Samuelson、Stanley Fischer、John S. Fleming
推导框架来源: Dreyfus, S. E. (1965). Dynamic Programming and the Calculus of Variations；风险厌恶度量定义见 Pratt, J. W. (1964). "Risk Aversion in the Small and in the Large." Econometrica 32(1): 122-136.

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