GARCH Miscalibration in Low-Vol Decile (Normal-Tail Assumption Failure)

Definition. GARCH(1,1) (Bollerslev 1986) 用正态尾部 (normal tail) 假设估算的 crash 概率在低波动率分位 (lowest predicted-risk decile) 系统性低估 100 倍 — 论文 2005-2020 S&P 500 经验证据: 最低 decile 预测概率 0.0001, 实际观测频率 0.0096 (96 vs 0.01 次/万)。根源: GARCH 用 \sigma_t + \Phi(z) (正态 CDF) 算 P(r < -2\%), 当 \sigma_t 小时, \Phi(z) 给出接近 0 的尾部概率, 但真实 crash 概率的 lower bound 来自离散事件 + microstructure shock + liquidity event 等非高斯成分, 不能用 normal-tail 估算。是 HHIt 论文的 hidden gem, 对 VaR, 期权定价, 风险预算有直接冲击。

现象: 100-fold 校准崩塌

论文 sample 中:

• GARCH(1,1) 总体 Brier score: 0.0429 (与其他 benchmark 看似 competitive, 实际 10 个 benchmark 中第 5 低)。
• 但 lowest predicted-risk decile: 预测概率 0.0001 (10^-4), 实际观测 crash 频率 0.0096 (近 1%)。
• 倍数: 实际/预测 ≈ 96 ≈ 100×。

对照: 同一 decile 内 Logit-RV 估算概率 0.0052, 实际 0.0096 — 接近 2× 而非 100×, calibration 显著好。

根源: normal-tail assumption

GARCH 模型

r_t = \sigma_t \epsilon_t, \epsilon_t \sim N(0, 1) (通常假设), \sigma^2_t = \omega + \alpha r^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1}。

次日 crash 概率:

P(r_{t+1} < -2\%) = \Phi\left(\frac{-0.02}{\sigma_{t+1}}\right) \approx \Phi(-2/\sigma_{t+1}) 当 \sigma_{t+1} 小时 (e.g. 年化 9% → 日 0.57% → \sigma_{t+1} = 0.0057), z = -0.02/0.0057 = -3.5, \Phi(-3.5) \approx 0.000233。 ### 真实概率的下界 即使没有已知 catalyst, 次日 crash 概率的下界来自: 1. Microstructure event (flash crash, 大单 block trade, 流动性撤回)。 2. Overnight news (财报, 央行, 政经事件)。 3. Tail risk 的不精确估计 (Student-t, GED, skewed-t 等 heavy-tail 分布应替换 normal)。 真实概率: S&P 500 2005-2020 样本 base rate 4.97% (155 events / 3,117 days), 即使完全无信息模型也应给 5%; GARCH 给 0.01% 是 500× 低估。 实际: 在 lowest decile 内, 真实约 1% (4.97% 是全样本 base rate, 条件于 lowest decile 应低但不会 100× 低), GARCH 给 0.01% → 100× 低估。 ## 解决方法: 用 logistic 估计 论文建议直接用 logistic regression 估计条件 crash 概率, 不做 normal-tail 假设: \text{logit}(P(\text{crash-02}_t = 1)) = \beta_0 + \beta_1 \log RV_t + \beta_2 \log \text{HHI}_t + \ldots

优势:

• 不预设分布形状 (normal / Student-t / GED 等), 直接数据驱动。
• 输出是直接的条件概率, 不是 normal-tail 算出的尾部概率。
• 配合 HHIt 后, calibration 进一步改善 (Brier 0.0430 vs GARCH 0.0429 — Brier 略好但 calibration 显著好)。

经验证据 (论文 benchmark 表)

对 quant 实践的冲击

1. VaR 模型: 用 GARCH + normal-tail 算 VaR 在 low-vol 期系统低估, 实际 VaR 风险比模型高 100×。改正:
   • 用 logistic estimation 直接给 crash 概率。
   • 用 heavy-tail 分布 (Student-t, GED) 替代 normal。
   • 用 empirical distribution bootstrap 给非参 quantile。
2. 期权定价: normal-tail GARCH 给 short-dated option 的 implied vol, 隐含的tail risk pricing 偏小 — 短到期 protective put 在 low-vol regime 可能 systemically underpriced。论文 §7 自陈"HHI 信号给 VaR + 期权定价补充"。
3. 风险预算: risk parity / vol-targeting 框架在 low-vol regime 下用 GARCH VaR 设定 risk-off 阈值, 实际 crash 频率高 100×, 风险预算结构性不足。改正: 用 logistic probability 或 empirical Brier-calibrated threshold 取代。
4. Risk-off 触发器: 论文 90 分位 cash overlay 用 logistic probability 而非 normal-tail, Sharpe 0.25 → 0.58, max DD -54% → -38% — 改善直接来自 calibration 改善。

与 RV 的关系

GARCH 是条件 vol 模型 (latent \sigma_t 估计); RV 是已实现 vol (从 5-min 平方收益算的实际 \sum r^2)。GARCH 在 low-vol 期预测 \sigma_t 偏小, 即使实际 RV 已经上行, GARCH 仍认为"明天 vol 仍小" — 这是低 vol 持续性的过度自信, 与 mean-reversion 假设 有关。

RV-based 估计 (HAR-RV) 也有同样问题: 5 日均值 + 22 日均值 + 60 日均值的低 vol 估计, 同样给 normal-tail 计算 crash 概率低。

Logit 估计用当前 RV + HHI 而非 vol 估计的预测, 不需要 normal-tail 假设, 直接给出校准后的条件概率。

与 HHIt 的具体合作

论文条件 RV (vol 水平) 后, HHI 才是提供 calibration 改善的核心 — 因为:

• HHI 描述日内的形状, 而 GARCH/RV 是总水平。
• 当 RV 已升高 + HHI ≈ baseline (2.925) → "broad-based stress" → 真实 crash 概率比 normal-tail 估算高 (RV 已知压力, 但 HHI 显示没有可识别的 single catalyst = 不可 exhausted = 延续到次日)。
• 当 RV 已升高 + HHI ≫ baseline → "event-driven burst" → 真实 crash 概率 normal-tail 估算接近 (event 已 session 内 exhausted, 次日回归均值)。

Proposition 1 的深层意义: HHI ≈ baseline 是"广-均匀, 不可 exhausted" 的标志, 是 normal-tail 模型系统性漏掉的非对称信号。

关键文献

• Bollerslev (1986) JoE 31(3) — GARCH 原始论文 (本文 benchmark)。
• Corsi (2009) JFE — HAR-RV 原始论文 (本文 benchmark, 也有 normal-tail 假设)。
• Andersen & Bollerslev (1997) JEF — intraday periodicity, RV 的早期理论。
• Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys (2003) Econometrica — RV 的开创, HHI 概念母题。
• Fan & Wang (2007) JASA — multi-scale jump/vol, jump component 的 heavy-tail。
• Brunnermeier & Pedersen (2009) RFS — market + funding liquidity (与 HHI "broad-based stress" 解读一致)。
• JDQS 2026 论文 — 100-fold miscalibration 经验证据 + Proposition 1 理论基础。

Open Questions

• Heavy-tail 替代: 用 Student-t GARCH / skewed-t GARCH 是否修复 100-fold miscalibration? 还是说 heavy-tail 仍不能解决"discrete microstructure event" 的 lower bound 问题?
• A 股 GARCH miscalibration: A 股 T+1 + 涨跌停 + 集合竞价下, GARCH miscalibration 程度如何? 涨跌停让尾部更厚 (有界), 应该让 normal-tail 误估更严重。
• Realized GARCH (HAR-GARCH): 结合 RV + GARCH 的 hybrid, 是否在 calibration 上更好? 与 logistic 的对比?
• VIX term-structure coupling: VIX 远期曲线隐含的 risk-neutral crash 概率 vs logistic empirical probability — 校准差异有多大? Cross-asset option 定价时如何 reconcile?
• 跨周期稳健性: 2005-2020 sample 内 GARCH miscalibration 已 100×, 2021-2026 (rate hike + 银行危机 + 疫情后 regime shift) 时期是更大还是更小?