GARCH(1,1)

Definition. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (Bollerslev 1986) 是条件 vol 估计的行业标准: r_t = \sigma_t \epsilon_t, \sigma^2_t = \omega + \alpha r^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1}。3 个参数 (omega, alpha, beta) 通常通过 MLE 估计, default \epsilon_t \sim N(0, 1) (normal-tail assumption)。是 HHIt 论文 10-benchmark 之一, low-vol decile 100-fold miscalibration 根源 — 论文建议用 logistic estimation 替代 normal-tail probability mapping。

模型

r_t = \mu + \sigma_t \epsilon_t, \sigma^2_t = \omega + \alpha r^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1}, \epsilon_t \sim N(0, 1) (默认)。

无条件方差: \sigma^2 = \omega / (1 - \alpha - \beta); 持续性: \alpha + \beta (越接近 1 越持续)。

论文中的角色

• 论文 Table III: Normal-GARCH(1,1) Brier 0.0429 (10 benchmark 中表面上 competitive, 但 calibration 100-fold 崩塌)。
• Hidden gem: lowest predicted-risk decile 预测 0.0001, 实际观测 0.0096 — "model says risk is 0, but really 1%"。
• 论文 §7: "logistic estimation over normal-tail probability mapping regardless of whether HHIt is included" — 直接建议 GARCH normal-tail 在 crash probability estimation 中应被替代。

衍生模型

• GARCH-t / GARCH-GED / GARCH-skewed-t — heavy-tail 替代 normal, 部分缓解 miscalibration (但不能完全解决 microstructure event lower bound)。
• EGARCH (Nelson 1991), GJR-GARCH (Glosten-Jagannathan-Runkle 1993) — leverage effect。
• DCC-GARCH (Engle 2002) — multivariate。
• Realized GARCH (Hansen-Huang-Shek 2012) — RV 替换平方收益, 改善信息集。

关键文献

• Bollerslev 1986 GARCH — 原始论文 (stub)。
• GARCH Miscalibration in Low-Vol Decile (Normal-Tail Assumption Failure) — 100-fold miscalibration 详细分析 (JDQS 2026 hidden gem)。
• JDQS 2026 Intraday Variance Concentration Crash — main paper (主引用源)。