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Artzner, Delbaen, Eber & Heath (1999) — Coherent Measures of Risk

论文信息

  • 标题: Coherent Measures of Risk
  • 作者: Philippe Artzner (Université Louis Pasteur, Strasbourg) · Freddy Delbaen (ETH Zürich) · Jean-Marc Eber (Société Générale) · David Heath (Carnegie Mellon University)
  • venue: Mathematical Finance 9(3), 203–228, 1999 · 24 页
  • 本地归档: raw/papers/199907-coherent-measures-of-risk/ (paper.pdf 249 KB + extracted.md)

一句话

给「风险度量」立了一套公理：满足平移不变性、次可加性、正齐次性、单调性四条公理的函数才叫一致风险测度 (coherent risk measure)；核心结论是当时业界的 VaR 不满足次可加性（两笔分别可控的仓位合并后可能失控），而"情景法"（把风险写成一族概率测度下的最坏期望）是最一般的一致风险测度表示。

结构

  • §2 定义：以未来净值 (future net worth) 为随机变量（正号代表损失），先定义可接受集 (acceptance set) A，再由 A 与"审慎参考工具"反推 \rho_{A,r}(X)=\inf\{\alpha: X+\alpha r \in A\}
  • 公理体系：平移不变 (T)、次可加 (S)、正齐次 (PH)、单调 (M)，外加相关性 (R)
  • Prop 2.1–2.3：可接受集与风险度量互为对偶
  • §3 VaR 的反例与 SEC/NASD 保证金规则的"过度安全"
  • Prop 4.1：情景法是最一般的表示，\rho 相干 \iff 存在一族概率测度 P 使 \rho(X)=\sup_{P}\mathbb E_P[-X/r]
  • §5 尾部条件期望 TCE 与最坏条件期望 WCE

与已有页面的关系

关键数字

  • VaR 违反次可加性的反例（§3.3）：两个数字期权 A、B，P(S_T<L)=P(S_T>U)=0.008；单独写 2 份 A 的 1% VaR 是 -2u，单独写 2 份 B 是 -2l，但 A+B 的 1% VaR 变成正数 1000-l-u
  • VaR 惩罚分散化：各公司独立以 1% 概率违约；全押一家时 5% VaR 为 -20000（"没有风险"），分散到 100 家后"至少两家同时违约"概率大于 0.18，组合净值为负的概率大于 0.05
  • SEC/NASD 保证金算例：组合 A=2C_{10}-2C_{20}-3C_{30}+4C_{40}-C_{50} 终值从未低于 -10（保证金应至多 10），按 SEC 分解法做 LP 得到的最低保证金是 30；纳入蝶式 B_{20}=C_{10}-2C_{20}+C_{30} 后只需 10
  • SPAN 广义情景：16 个情景，前 14 个按 100% 计、两个极端情景只按 35% 计（Prop 3.1 证明其相干）
  • TCE \le WCE（Prop 5.1）；基准概率均匀且无并列取值时两者相等（Prop 5.3）

重要 caveat

  • 论文明确不假设市场完备，状态空间 \Omega 有限，只覆盖单期 (0,T] 且假定头寸在期间内不变
  • 公理不足以唯一确定风险测度：四公理刻画的是一个很大的类

标准文献

  • Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M. & Heath, D. (1999). "Coherent Measures of Risk." Mathematical Finance 9(3): 203–228. doi:10.1111/1467-996X.00068
  • Föllmer, H. & Schied, A. (2002). Stochastic Finance — 公理体系的教科书式处理
  • Acerbi, C. & Tasche, D. (2002). "On the Coherence of Expected Shortfall." Journal of Banking & Finance 26(7): 1487–1503
  • Shapiro, A. (2017). "Distributionally Robust Stochastic Programming." Operations Research 65(3): 674–690