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Rockafellar & Uryasev (2000) — Optimization of Conditional Value-at-Risk

论文信息

  • 标题: Conditional Value-at-Risk: Algorithms and Applications（讲义，基于 Optimization of Conditional Value-at-Risk 与 Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions）
  • 作者: R.T. Rockafellar (Northwestern University) · Stan Uryasev (Risk Management and Financial Engineering Lab, University of Florida)
  • venue: The Journal of Risk 2(3): 21–41, 2000；配套 ISE Research Report 2001-5（University of Florida）
  • 本地归档: raw/papers/200103-conditional-value-at-risk-algorithms/ (paper.pdf 703 KB + extracted.md；本地归档为 Uryasev 的综述讲义)

一句话

CVaR（条件风险价值，又称 Expected Shortfall）把"最差 \alpha 比例损失的平均"这个分段线性、凸的尾部风险度量写成"分位点 \zeta + 超额损失 z_j"的形式，于是最小化 CVaR 等价于一个线性规划 (LP)——这是它能撑起百万级情景的大规模组合优化的原因。

结构

  • 背景：分位函数 (percentile) 与概率函数 (probabilistic) 在优化中的地位
  • CVaR 的定义与基本性质（含一致风险测度的四条公理、\alpha 上的连续性）
  • Theorem 1：\mathrm{CVaR}_\alpha(x)=\min_\zeta F(x,\zeta)，取到最小值的 \zeta_\alpha(x) 就是 VaR
  • Theorem 2：\min_x\mathrm{CVaR}_\alpha(x)=\min_{\zeta,x}F(x,\zeta) → 引入 z_j 化为 LP
  • 三个 CVaR 变体：\mathrm{CVaR}^{[-]}、\mathrm{CVaR}、\mathrm{CVaR}^{[+]} 与 \lambda 的切原子解释
  • 算例一：SP100 组合复制（30 只股票，600 个情景）
  • 算例二：信用风险（197 只债券、86 个债务人、29 个国家、20000 条蒙特卡洛情景）
  • 条件回撤风险 (CDaR) 的定义
  • 结论与边界（分位点约束与概率约束在离散分布下非凸）

与已有页面的关系

关键数字

  • 分段线性函数：F(x,\zeta)=\zeta+\frac{1}{(1-\alpha)J}\sum_{j=1}^{J}(f(x,y^{(j)})-\zeta)_+
  • LP 形式可用于超过 1,000,000 个工具与情景的问题
  • SP100 组合复制：w=0.02 样本内 0.71778% / 样本外 2.73131% / 样本外 CVaR 4.88654%；w=0.005 样本内 1.11391% / 样本外 0.85858% / 样本外 CVaR 2.62559%
  • w=0.005 时最优 \zeta^*=0.001538627671，600 个情景中 14 个落在 VaR 点、54 个超过 VaR，\lambda=(546/600-0.9)/0.1=0.1，\mathrm{CVaR}^{[-]}=0.004592779726 < \mathrm{CVaR}=0.005 < \mathrm{CVaR}^{[+]}=0.005384596925
  • 信用风险算例：市值 88 亿美元、久期约 5 年；预期损失 9500 万美元、标准差 2.32 亿美元、VaR(99%) 10.26 亿美元、CVaR(99%) 13.20 亿美元

重要 caveat

  • \mathrm{CVaR}^{[+]}（严格超过 VaR 的条件期望）与 CVaR 在离散分布下不相等；Acerbi 等人后来重定义了 Expected Shortfall 以与 CVaR 对齐
  • 样本外目标函数随 CVaR 收紧而下降的效果"依赖数据集"
  • 本地归档是综述性 slides，不是完整论文；CDaR 部分明言"详细讨论超出本讲义范围"
  • 分位点约束 \zeta_\alpha(x)\le\varepsilon 与概率约束在离散分布下都是非凸约束

标准文献

  • Rockafellar, R.T. & Uryasev, S. (2000). "Optimization of Conditional Value-at-Risk." Journal of Risk 2(3): 21–41.
  • Rockafellar, R.T. & Uryasev, S. (2002). "Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions." Journal of Banking & Finance 26(7): 1443–1471.
  • Uryasev, S. (2005). "Optimization of Conditional Value-at-Risk." In Handbook of Economic Forecasting, Vol. 1, Elsevier, pp. 543–569.
  • Acerbi, C. & Tasche, D. (2002). "On the Coherence of Expected Shortfall." Journal of Banking & Finance 26(7): 1487–1503.