R.T. Rockafellar

美国西北大学 (Northwestern University) 的运筹学与数学金融学者，随机规划领域奠基者之一。他与 Stan Uryasev 合作提出的 CVaR 的线性规划刻画，是把尾部风险带进大规模组合优化的关键一步。

在本 wiki 的论文

• Rockafellar & Uryasev 2000 — Optimization of Conditional Value-at-Risk — 用分段线性函数 F(x,\zeta)=\zeta+\frac{1}{(1-\alpha)J}\sum_j(f(x,y^{(j)})-\zeta)_+ 把 CVaR 写成可优化的形式，Theorem 1/2 给出 \mathrm{CVaR}_\alpha(x)=\min_\zeta F(x,\zeta) 与 \min_x\mathrm{CVaR}_\alpha(x)=\min_{\zeta,x}F(x,\zeta)，引入辅助变量后化为线性规划 → CVaR 优化

方法论取向

把难解的风险度量改写成易解的凸优化问题，而且不损失任何东西。这是本篇的核心技巧：CVaR 本身是分段线性凸函数，Rockafellar-Uryasev 的贡献是给出一个同时对 \zeta 取极小、对决策 x 取极小仍然等价的表达式，于是"最小化 CVaR"直接落到 LP 求解器上。讲义称 LP 形式可用于超过 1,000,000 个工具与情景的问题，且数值快速稳定。

同一套机制换个损失函数就得到 CDaR（条件回撤风险）——把回撤 f(x,t)=\max_{0\le\tau\le t}[w(x,\tau)-w(x,t)]_+ 当作损失函数，其余完全不变。

相关

• Stan Uryasev —— 长期合作者
• 一致风险测度 —— CVaR 的公理依据
• 均值-方差框架 —— 正态情形下最小化 CVaR 与最小化方差同解