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Bures–Wasserstein 协方差预测 (BW Covariance Forecasting)

定义

把时变协方差矩阵 \Sigma_t (SPD 矩阵) 视为 Bures–Wasserstein (BW) 流形上的时间序列: BW 距离

d_{BW}(\Sigma_1, \Sigma_2) = \Big\{\mathrm{Tr}\big(\Sigma_1 + \Sigma_2 - 2(\Sigma_1^{1/2}\Sigma_2\Sigma_1^{1/2})^{1/2}\big)\Big\}^{1/2}

恰是 \mathcal{N}(0,\Sigma_1) 与 \mathcal{N}(0,\Sigma_2) 之间的 2-Wasserstein 距离 (最优传输成本)。因与最优传输的联系, 比仿射不变 / Log-Euclidean 度量更"自然"适合计量与金融应用 (summaries/202607-riemannian-factor-model-manifold-time-series/202607-riemannian-factor-model-manifold-time-series)。注意 BW 流形非负曲率且不完备 — 传统 SPD 几何文献多假设的完备性在此不成立。

预测流水线 (RFM 版)

  1. 月度实现协方差 (日对数收益 → 12×12 矩阵) = BW 流形观测序列;
  2. 黎曼因子模型 (Riemannian Factor Model) 降维: 因子数 ratio 估计器选定;
  3. 因子过程拟合 VAR(1) 做 one-step-ahead 因子外推;
  4. \hat\Sigma_{t+1} = \mathrm{Exp}_{\hat\mu}(J(\hat{A}\hat{\mathbf{f}}_{t+1})) 映回流形 — 输出保证 SPD。

实证结果 (S&P 500 12 龙头, 2000-2019, 240 个月度矩阵; 后 36 个月样本外)

方法 rGMSE (2 因子) BW 预测误差均值/中位 组合风险误差均值/中位
RFM 0.404 10.79 / 7.14 0.94 / 0.52
LFM (线性) 0.533 (需 9 因子才 0.405) 17.25 / 17.01 3.66 / 3.63
LOCF (上月矩阵) — 12.51 / 8.02 2.61 / —
EWMA (λ=0.94, RiskMetrics) — 11.97 / 9.81 1.45 / 0.89

组合风险误差 = 最小方差组合的 |w_t^\top(\hat\Sigma_{t+1}-\Sigma_{t+1})w_t|。

因子解读 (经测地轨迹热图): 因子 1 ≈ 市场联动强度, 与 VIX 收盘价高度同步; 因子 2 = 行业结构 — 正值期 (dot-com) IT 板块内依赖升高, 负值期 (金融危机) 载荷集中到金融/能源。EWMA 只给预测不给解释, RFM 两者兼得且预测更准。

对组合构建的含义

  • 协方差预测误差直接进入最小方差组合的权重与风险预算 — RFM 把风险预测误差均值砍到 EWMA 的 65%。
  • BW 几何与 DRO 兼容: Wasserstein Ambiguity Set 的模糊球约束 (Blanchet et al. 2022 分布鲁棒组合选择) 与 BW 流形上的因子结构天然同一套度量。
  • 与 Wasserstein HMM 资产配置框架 的可叠加性: HMM 状态过滤 + RFM 因子外推可拼成"状态感知的协方差预测"。

关联