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两类平方根冲击律 (Two Square Root Laws)

大白话：大家熟悉的「买 100 倍的量，价格只被推动 10 倍」这条平方根律，其实是两条。 第一条说的是「同样的下单速度下，越买越贵」；第二条说的是「同样买满 Q 股，下得越快越贵」。 第二条只在参与率高的时候是平方根；参与率低的时候是线性的。 而这两条之间能不能切换，取决于市场上有没有能看穿母单的老练交易者。

为什么一条不够：Q 和 \gamma 是两个独立的量

经典表述 I \propto \sqrt{Q} 里其实混着两个变量：

符号 含义 范围
Q 母单执行的总成交量 由下单者决定
\gamma 参与率 = 母单占同期市场成交量的比例 由下单者与市场共同决定

固定 \gamma 执行则 Q_t = \gamma V t，代入冲击式就得到两条律：

律 固定什么 冲击怎么变
第一条 参与率 \gamma 随累计成交量 Q_t 按 \sqrt{\cdot} 增长（母单执行期间）
第二条 成交量 Q \propto \sqrt{\gamma}（\gamma 足够大时）；\gamma 小时是线性

注意：很多文献只报告第二条。「冲击 \propto \sqrt{\gamma}」这句话本身是有前提的——前提是参与者结构允许存在能识别母单的老练交易者。

机制：母单会制造「可识别的失衡」

模型设定（Hawkes 订单流 + 无套利，详见 concepts/microstructure/平方根冲击定律 (Square-Root Impact Law)）：

  • 买单流 N^a、卖单流 N^b：独立、同核 \phi 的 Hawkes 过程（自激）。
  • 母单 N^o：强度 \nu 的非齐次 Poisson 过程（不自激）。

关键的不对称：普通市价单流自激，母单不自激。市场本不该同等对待两者——母单造成的市场失衡是可以被识别的。

论文明确列出识别手段：看市价单符号自相关函数的异常，或用机器学习聚类算法逼近公允价。后者正是 ClusterLOB 的做法——这是 F2 与 ClusterLOB 之间最直接的理论—实证对接。

公允价与老练交易者

剔除母单后、由自激流推出的价格叫公允价 (efficient price) EP_t。由核的卷积结构得 \xi(t)\ge 1，故

EP_t \le P_t \quad \text{（几乎处处）} 老练交易者看到价差就反向卖出。模型用强度函数 U 刻画其反应： \lambda^m_t = U(P_t - EP_t), \qquad U(x) = 0 \text{ for } x \le 0

U 的性质 后果
单调递增（最少要求） 冲击对 \gamma 单调递增（定理 8）
单调递增 + 凸 冲击对 \gamma 凹（定理 8）
U(x) = cx^\beta，\beta > 1 渐近指数为 1/\beta（定理 9）
U(x) = cx^2 1/\beta = 1/2 → 经典平方根律

U(x)=x^2 的直觉：一个相信平方根律的套利者，预期收益 \alpha x、自己造成的成本 c\sqrt{x}\,x，最优化后持仓 \propto \alpha^2，所以反应强度正比于 x^2。

模型的不对称性：老练交易者只卖不买。因为几乎必然有 N^o_T \ge N^m_T（他不可能比母单卖得更多）。

定理 9 的显式形式

f(t)=1 on [0,1]、U(x)=cx^\beta 时，对 0<t<1：

MI(\gamma, t) \underset{\gamma\to\infty}{\sim} \gamma^{1/\beta}\, c^{-1/\beta}\left(1 + \frac{\lambda}{\alpha\,\Gamma(1-\alpha)\,\Gamma(\alpha)}\, t^{1-\alpha}\right) 取 \beta=2 就是平方根律。 ## 时间结构 冲击可分解为永久部分 PMI（t\to\infty 的极限）与暂态部分 TMI。衰减是幂律、指数为 \alpha——与 metaorder 冲击衰减 那页收集的实证（Brokmann 等 2014 的 I(\tau)\sim\tau^{-0.8}）方向一致。 形状与 Jensen & Rosenbaum (2020) 的结果高度相似，差别只来自 (\gamma f(s) - r^*(\gamma,s)) 这一项——正是老练交易者的介入项。这一项在小 \gamma 时可忽略，在大 \gamma 时主导，于是它就是「线性 ↔ 平方根」这个 regime 切换的来源。 ## 数值结果与一个诚实的偏差 论文的数值例子（\alpha=0.5, \lambda=1, U(x)=x^2）给出幂律拟合 MI \propto \gamma^{0.6341}

这个 0.63 不是 0.5。 论文自己承认定理 9 依赖 \gamma\to\infty，但指出图上中等 \gamma 时幂律已近似成立。读这个结论时要记得：指数依赖于 U 的形状，而 U 的形状没有任何数据支撑（论文把校准 \beta 明确留给实践者）。

实践价值：从拟合平方根律到算执行成本

论文给的可落地路径：

  1. 校准 (\phi, U)；
  2. 蒙特卡洛模拟算冲击剖面；
  3. 反向优化执行策略 f——给定策略算执行成本。

并提供显式上下界（定理 10）与 Adomian 分解（5.2 节），使 \gamma 不太大时可闭式近似。成本函数是 \int_0^T MI_t\,\mathrm{d}N^o_t 相对到达价的成本。

与「参与者分类」这条线的对接

这是本 wiki 里目前最接近 ClusterLOB 的理论支撑，但不是同一回事：

F2 的「老练交易者」 ClusterLOB 的三簇
识别什么 母单（自己正在被拆的那一笔大单） 每笔委托的行为类型
做什么 只反向卖出（纯逆向） 方向型 / 机会型 / 做市型
理论地位 模型里的一个主体，U 是外生给定的 无监督聚类的产物，k=3 是先验给定
数据需求 只需知道母单存在 需要逐笔委托流（MBO）

两者行为特征对不上：F2 的老练交易者方向性极强（专做逆向），ClusterLOB 的「机会型」簇方向不稳定。这是本 wiki 里最值得追的一条开放线索——见 summary 的 Open Questions。

A 股迁移的三个障碍

  1. 限价单母单未建模。论文自己指出：限价单母单需要把 \kappa 变成挂单量的函数、并建模挂单与来单流的反馈，留作未来工作。而 A 股以限价单为主。
  2. 涨跌停板截断冲击。触板时价格无法继续移动，老练交易者的反向卖出在触板处执行不了，\lambda^m_t 失真。
  3. \gamma 在 A 股的分布更极端。散户为主的 A 股里机构母单的 \gamma 通常很小——恰好落在线性区而非平方根区。

Cross-ref