Rearrangement Inequality (重排不等式)

占位 entity — recos 度量推导的数学基础。

完整 reference: Hardy, G. H., Littlewood, J. E., & Pólya, G. (1952). Inequalities (2nd ed.). Cambridge University Press. 第 10 章 (Rearrangement Inequality)。

命题: 对实数序列 a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n 与 b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_n, 任意 permutation \sigma 满足

\sum_i a_i b_{n+1-i} \le \sum_i a_i b_{\sigma(i)} \le \sum_i a_i b_i 即同序配对给出上界, 反序配对给出下界; 任意 permutation 介于两者之间。 对 recos 的角色: 把点积 |u\cdot v| 看成"分量按某配对规则"求和, Cauchy–Schwarz 界对应"按向量索引自然顺序"配对; 重排不等式给出"按序最大化配对"对应的上界, 即 |u\cdot v| \le |u_{\uparrow}\cdot v_{\updownarrow}|这是比 Cauchy–Schwarz 紧的不等式, 正是 recos 的归一化分母来源。Xinbo Ai 2026 Beyond Cosine Similarity 把这条经典不等式首次用于 embedding similarity 度量构造。

延伸阅读: 与排序相关的其他不等式 — Chebyshev sum inequality (序相同的两个序列均值乘积 ≥ 总均值乘积), 与 recos 配合使用可在 ordinal concordance 的几何含义上获得更细的刻度。