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Signature Lead-Lag Metric

Definition. 利用 rough path theory 的路径签名 (signature) 构造的 pairwise lead-lag 指标 (Levin, Lyons, Meek, Pauwels 2016): S_{ij}^{(t)} = S(X^{(i)})^{1,2}_{[t-m,t]} - S(X^{(j)})^{1,2}_{[t-m,t]} 其中 S(X)^{1,2} 是路径的二阶迭代积分交叉项。在 i 与 j 两个时间序列都被视为分段线性的连续路径时, 该指标为正表示 i 的 (局部) 变化领先 j 发生。

rough path 背景

路径 X: [a, b] \to \mathbb{R}^d 的截断到二阶的 signature 是一组迭代积分:

S(X)_{a,b} = \left(1, \int_a^b dX_u, \int_a^b \int_a^v dX_u \otimes dX_v, \ldots\right) Chevyrev & Kormilitzin (2016) 证明截断 signature 几乎唯一确定路径, 适合做非线性、非平稳时序的"形状"特征。 ## 二阶交叉项作为 lead-lag 二阶项的交叉项 S(X)^{1,2}_{a,b} = \int_a^b X^1_u \, dX^2_u 物理含义: 在 X^1 上对 X^2 的"加权累积"。 构造二元路径 X = (X^{(i)}, X^{(j)}), 则 S(X)^{1,2}_{[t-m,t]} - S(X)^{2,1}_{[t-m,t]} = \int_{t-m}^t X^{(i)} dX^{(j)} - \int_{t-m}^t X^{(j)} dX^{(i)}为正意味着 X^{(i)} 上升区间里 X^{(j)} 的运动权重更大, 即"先动带后动"。

优势 vs 致命缺陷

优势:

  • 能捕捉非线性 + 非正相关 (与 ccf-auc 互补, ccf-lag1 不行)。
  • 对频率自适应: 不需要人为选 L (lag 数), 由窗口 m 决定, 与 ccf-auc 的 lag range 等价但参数更少。
  • 路径签名理论保证 (Levin 2016): 对路径重参数化、平移、re-timing (到一定范围) 鲁棒。

致命缺陷:

  • 无法区分 "i→j 负相关" 与 "j→i 正相关"。两种情形下 S^{1,2} - S^{2,1} 都同号, 方向模糊。
  • 对价格序列绝对水平敏感: 需先 z-score 标准化 (否则 vol 大 → 整体指标大, 不可比)。
  • 计算量 O(T^2) (积分需逐点) 较 ccf-auc (O(TL)) 慢。

实证 (Bennett 2022 §4.3)

合成数据 Linear DGP: signature 准确率与 ccf-auc + distance correlation 接近。 合成数据 Cosine DGP (非线性, 含负相关): signature 显著差 — 印证"方向模糊"缺陷。 美股日收益 (正相关为主): signature 表现 OK, 但仍逊于 ccf-auc + distance correlation。

结论: signature 适合理论上想要避免手选 lag 的场景; 实操中, 配合正相关假设的数据 (美股日 / 多数权益) 时, 仍可作为 ccf-auc 的备选; 含显著负相关的资产 (跨期商品、跨境 ETF) 不要用。

邻近概念

起源 / 标准文献

  • Levin, Lyons, Meek, Pauwels (2016) "Signature-based financial lead-lag" — 首次把 signature 用于 lead-lag
  • Chevyrev & Kormilitzin (2016) — signature 的金融应用综述
  • Gyurkó, Lyons, Kontkowski, Field (2014) — signature 在 financial contexts 的早期使用
  • Reizenstein & Graham (2018) — 分段线性 signature 数值算法
  • Bennett, Cucuringu, Reinert (2022) Machine Learning 111:4497–4538 — signature vs ccf 系统对比 (本 wiki 摘要)

Open Questions

  • 三阶 signature S^{1,1,2} 等高阶项能否修复"方向模糊"缺陷? (理论上 signature 高阶项保留了时间信息, 但解析尚不完整。)
  • signature 的 "signature kernel" 化 (Király & Oberhauser 2019) 能否用 RKHS 内积替代成对计算, 把 O(p^2 T^2) 降到 O(p^2 T)?
  • 标准化方案: 用 rolling z-score 还是 ATR-adjusted? 哪个对 regime shift 更鲁棒?